Лінійна залежність й незалежність векторів. Векторні лінійні простори

Розглянемо кілька векторів а^...,а_к.

Лінійною комбінацією даних векторів називається будь-який вектор ви­гляду а = Л ■ а₁ + Л₂ ■ а₂ +... + Л_к ■ а_к, де Л,---,Л - деякі числа. Числа Л₁,.,Л_кна­зиваються коефіцієнтами лінійної комбінації. Вектор а лінійно виражається через дані вектори а₁,.,а_к, тобто виходить з них за допомогою лінійних дій.

Наприклад, якщо дані три вектори а, Ь, с, то у якості їхньої лінійної

-і і 1 і і — а + с і

комбінації можна розглядати вектори: d = 3а - — Ь + с, / = —-—, g = 2а.

Якщо вектор представлений як лінійна комбінація якихось векторів, то говорять, що він розкладений за цими векторами.

Вектори а^...,а_к називаються лінійно залежними, якщо існують такі

числа Л₁,.,Л_к, не всі рівні нулю, що \ ■ а₁ +Я₂ ■ а₂ +... + Л_к ■ а_к = 0. Ясно, що за­дані вектори будуть лінійно залежними, якщо будь-який із цих векторів лінійно виражається через інші.

У противному випадку, тобто коли співвідношення

\ ■ а₁ + Я₂ ■ а₂ +... + Л_к ■ а_к = 0 виконується тільки при \ = \ =... = Л_к = 0, ці век­тори називаються лінійно незалежними.

Теорема 1. Будь-які два вектори лінійно залежні тоді й тільки тоді, коли вони колінеарні.

Таким чином, теорема стверджує, що лінійно незалежними на площині можуть бути тільки неколінеарні вектори.

Теорема 2. Три вектори лінійно залежні тоді й тільки тоді, коли вони компланарні.

Таким чином, три некомпланарних вектори завжди лінійно незалежні. Крім того, можна довести, що кожні чотири вектори лінійно залежні.