Лінійна залежність й незалежність векторів. Векторні лінійні простори
Розглянемо кілька векторів а^...,ак. Лінійною комбінацією даних векторів називається будь-який вектор вигляду а = Л ■ а1 + Л2 ■ а2 +... + Лк ■ ак, де Л,---,Л - деякі числа. Числа Л1,.,Лкназиваються коефіцієнтами лінійної комбінації. Вектор а лінійно виражається через дані вектори а1,.,ак, тобто виходить з них за допомогою лінійних дій. Наприклад, якщо дані три вектори а, Ь, с, то у якості їхньої лінійної -і і 1 і і — а + с і комбінації можна розглядати вектори: d = 3а - — Ь + с, / = —-—, g = 2а. Якщо вектор представлений як лінійна комбінація якихось векторів, то говорять, що він розкладений за цими векторами.
Вектори а^...,ак називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа Л1,.,Лк, не всі рівні нулю, що \ ■ а1 +Я2 ■ а2 +... + Лк ■ ак = 0. Ясно, що задані вектори будуть лінійно залежними, якщо будь-який із цих векторів лінійно виражається через інші. У противному випадку, тобто коли співвідношення \ ■ а1 + Я2 ■ а2 +... + Лк ■ ак = 0 виконується тільки при \ = \ =... = Лк = 0, ці вектори називаються лінійно незалежними. Теорема 1. Будь-які два вектори лінійно залежні тоді й тільки тоді, коли вони колінеарні. Таким чином, теорема стверджує, що лінійно незалежними на площині можуть бути тільки неколінеарні вектори. Теорема 2. Три вектори лінійно залежні тоді й тільки тоді, коли вони компланарні. Таким чином, три некомпланарних вектори завжди лінійно незалежні. Крім того, можна довести, що кожні чотири вектори лінійно залежні.
|
