Приклад. На минулих виборах на посаду мера міста претендувало три кандидати

На минулих виборах на посаду мера міста претендувало три кандидати. Є результати голосування на трьох виборчих дільницях, виражені у відсотках, а також загальна кількість голосів виборців, що проголосували за кожного кан­дидата з усього округа (таблиця 2.6). Визначити чисельність громадян, що бра­ли участь у голосуванні на кожній виборчій дільниці.

Таблиця 2.6

Кандидати	Результати голосування на трьох виборчих дільницях, %	Усього, за чол.
дільниця №1	дільниця №2	дільниця №3
№1		2З		23 бО
№2	4З	ЗО	ЗО	4З40
№3	ЗЗ	2З

 

Л Позначимо через X', x₂, x₃ кількість громадян, що брали участь у голо­суванні, на кожній виборчій дільниці. Використовуючи дані таблиці, одержимо систему рівнянь:

'0,20 • X' + 0,2З • x₂ + 0,30 • x₃ — 23б0 0,4З • X' + 0,З0 • x₂ + 0,З0 • x₃ — 4З40 0,3З • X' + 0,2З • x₂ + 0,20 • x₃ — 2410.

Розв'яжемо задачу методом Гаусса з використанням нрограми Maxima.

Уводимо розширену матрицю системи A. Для виконання кроків методу Гаусса використовуємо функцію row. Позначимо рівняння (рядки) розширеної матриці L₁=row(A,1), L₂=row(A,2) і L₃=row(A,3). Крім того, щоб не за­харащувати екран цифрами величезної розрядності, застосовуємо онератор fpprintprec, який встановлює число значущих цифр, нанриклад З.

Прямий крок методу Гаусса:

_К ' _т 0,20....

Крок 1: номножимо L₂ на множник 04J і віднімемо від нього L'. Ці

онерації еквівалентні онераціям множення матриці на число й віднімання двох матриць, де маємо снраву з матрицями-рядками.

О wxMaxima 0.7.4 [ Лінійна алгебра.wxm ]
Файл Правка	Maxima Уравнения і	Алгебра Анализ Упростить Графики Числе
а п а \й	т ¥-\ □ ® і	©	О 1	)-------------------

 

(%il) A: matrix([0.2,0.25,0.3,2360],

[0.45,0.5,0.5,4540], [0.35,0.25,0.2,2410])$

(%i2) fpprintprec: 55

(%ІЗ) Al: mat rix ([ row (А, 1) ],

[ row (A, 2) *0. 2/ 0. 45-row (A, 1) ], [ row (A, 3) *0. 2/ 0. 35-row (A, 1) ]);

0.2 0.25 0.3 2360

 

-17

(%o3)

2.77556 10

□.□278 - 0.0778 - 342.22

 

2.77556 10 ¹⁷ - 0.107 - 0.186 - 982.86

(%І4) A2: mat гін ([ row (Al, 1) ],

[ row (Al, 2) ],

[ row (Al, 3) *0. 027 8/0. 107-row (Al, 2) ]);

0.2 0.25 0.3 2360

 

-17

(%o4)

2.77556 10

0.0278 - 0.0778 - 342.22

 

- 3.49668 10 ¹⁷ - 5.93384 10 ⁵ 0.0295 86.863

(%І5) x3: 86.863/0.0295;

(%o5) 2944.5

(%І6) x2: (-342.22 + 0.0778*x3)/-0. 0278;

(%o6) 4069.7

(%i7) xl: (2360-0.25*x2-0.3*x3)/0.2; (%o7) 2296.1

Рис. 2.12. Фрагмент обчислень у Maxima

^ ₂ т °'²⁰ • •• • т

Крок 2: помножимо Ь₃ на множник ° ^^ і віднімемо від нього Ьі.

і віднімемо від нього L*2.

Одержали матрицю Лі, у якій усі коефіцієнти при х₁ у всіх рівняннях, крім першого, перетворились на нуль. Позначимо рядки матриці Л1 Ь^гс^АІ,!, Ь*₂=гсм(А1,2) і Ь*₃=гсм(А1,3).

О,О278..

Крок 3: помножимо L*₃ на множник

О,1О7

Отримали систему A2 трикутного вигляду, у третьому рівнянні якої всі коефіцієнти крім коефіцієнта при х₃ перетворились на нуль (рис. 2.12). Насправді замість нуля бачимо нескінченно малі числа, що говорить про величезну точність програми Maxima.

Робимо зворотний крок: знаходимо змінні.

Система має єдиний розв'язок, що виходить послідовним знаходженням змінних, починаючи з останнього рівняння. Для кроків 4, 5, 6 використовуємо формули 2.2. Отже, чисельність громадян, що брали участь у голосуванні, від­повідно, на першій, другій та третій дільницях х₁=2296 чол., х₂=4070 чол., хз=2945 чол. ►