Теореми Кронекера-Капеллі

СЛАР називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв'язок, і не­сумісною - у випадку, коли розв'язків у системи немає.

3 8

3 6 1 2

Питання про те, має система розв'язок чи ні, пов'язане не тільки зі спів­відношенням числа рівнянь і числа невідомих п. Наприклад, система із трьох рівнянь із двома невідомими:

2 Хі 2 Х2 — 2,

3х₁ + 3 х₂ — 3

має розв'язок х₁=2, х₂=—1 і навіть має нескінченно багато розв'язків, а система із двох рівнянь із трьома невідомими:

!

Хі Х2 Х3 — 0,

У системі

У системі

2 Х₁ + 2 Х₂ + 2 Х₃ — 1 розв'язків не має, тобто є несумісною.

Будемо називати розширеною матрицею системи лінійних рів­нянь матрицю А *, що відрізняється від матриці,4 системи наявністю додатко­вого стовпця з вільних членів:

	' aii	Оу2 ■■;	• ain	Ьі	л
A* —	a21	a22 ■	• a2n	b2
	V am1	a 2.. m 2	a mn	b m	У

 

Зауважимо, що ранг розширеної матриці A* або дорівнює рангові мат­риці системи A, або більше нього на одиницю.

Тоді, відновідь на нитання нро сумісність і визначеність довільної сис­теми рівнянь дають наведені нижче теореми Kронекера-Kанеллі.

Теорема Кронекера-Капеллі I (умова сумісності). Система лінійних рі­внянь є сумісною тоді й тільки тоді, коли ранг матриці системи A дорівнює ран­гові розширеної матриці A*. Система лінійних алгебраїчних рівнянь має нри цьому хоча б один розв' язок.

x! x2 — І,

2 x₁ + 2 x₂ — 2, rang A = rang A* = І і система є сумісною. ^ Зx₁ + Зx₂ — З

{2x + 2x⁺+2 ^— - І rang A = І; rang A* = 2. Тобто ранг матриці

системи не дорівнює рангові розширеної матриці й, за теоремою ^онекера- ^неллі, система є несумісною.

Теорема Кронекера-Капеллі II (умова визначеності).

Сумісна система є визначеною, якщо ранг матриці А системи дорівнює кількості невідомих: rang A = rang A* = n.

Система нри цьому має один єдиний розв'язок. Якщо ж rang A < n, то система має безліч розв'язків.

Хоча теореми Kронекера-Kанеллі дають можливість визначити, чи є система сумісною й визначеною, застосовуються вони досить рідко, в основно­му в теоретичних дослідженнях. Причина нолягає в тім, що обчислення нри знаходженні рангу матриці збігаються з обчисленнями нри знаходженні розв'язку системи, нанриклад, за методом Гаусса (див. н. 2.20). Тому, замість того, щоб знаходити ранги шукають розв'язок системи. Якщо його вдається знайти, то дізнаються, що система сумісна й одночасно одержують її розв'язки. Якщо розв'язок не вдається знайти, то робимо висновок, що система несумісна.

Рис. 2.11. Умови сумісності та визначеності за теоремами Kpонекеpа-Kапеллі