Приклади. Приклад 1* Розв'язати систему рівнянь

 

Приклад 1* Розв'язати систему рівнянь

[3 Х + 2 у = 7, Х - у = 4 '

1 -і) Х = (

< А:

'3 2\_т, (х\ _п (7'

В = 14)* X = А~¹В

Знайдемо матрицю зворотну до матриці А.

-1 з

1/-1 -2\/7Ї

X = А'1 В = --

и=-5. а^т=(22 0,^А=(:; -

П 1 (-15

Я-1 3Д4/ 5\ 5 Таким чином, х = 3, у = - 1. ►

Приклад 2. Розв'язати матричне рівняння:

ХА+В=С,

-1 -2\ = 1/-1 -2 ' А = 5

де А = (3 5). В = (-⁵2 -^[4]5). С = ((-^[5]з

 

ХА = С - В

М Виразимо шукану матрицю X із заданого рівняння. 5 4 \/ 5 3 \ /0 1\ -1 -3) 1-2 -5) -11 2^

Помножимо обидві частини рівняння на матрицю А (праворуч до кож­ної частини рівняння): ХАА~¹ = (С - В) • А"¹, або X = (С - В) • А"¹. Знайдемо матрицю А"¹.

-7 5 3 -2/" 0 1\ /-7 5

А = 2• 7-3• 5 = -1; А^т = (3). а = (-3 ^-5). 7 -5^

А"¹ = -

-3 2

3 -2 -1 1

2 5 3 7

0 1 1 2

Перевірка: ХА =

 

5 4 -1 -3

С.►

ХА + В = (0 2) + (-⁵2 -35

 

Приклад 3. Розв'язати систему рівнянь

3 2

0 1

2 1 1 2

3 1 0 2

3 -12 = -9, Ат

А

0 1

х₁ + 2 х₂ = 10, 3х1 2x2 Х3 — 23, Х2 2 Х3 —13.

	Г1				Г Х11		Г101
М А =				, Х =	х2	, В =
	10		2)		V х3)		V13)

 

Розв'язок будемо шукати у вигляді Х = А ¹В.

1 2 0 3 2 1 0 1 2

ґ

\

ґ

\

-4 2

-4 2

1 9

-1

А

А

-6 2

1 4

-6 2

-1 4

-361 -27 -45,

Г 41 К5 J

3 -б к 3

1 9

X = A~lB = -

23 к 13 J

-4 2^л 2 -1 -1 -4

 

Приклад 4 * Учасник ринку цінних паперів оцінює прибуток від вкладень свого капіталу в три види акцій за останні три роки* Знайти суми вкладень кош­тів у кожен із видів акцій, якщо відомі відсоток прибутку за видами акцій і за­гальний прибуток кожного року окремо (таблиця 2*5)*

Таблиця 2*5 Відсоток прибутку за видами акцій і загальний _____ прибуток кожного року окремо         Загальний Період Відсоток прибутку за видами акцій, % прибуток,         млн. грн.   Акції 1 Акції 2 Акції 3   2003 р.         2004 р.         2005 р.

 

А За даними таблиці, одержимо систему рівнянь:

0,20 ■ ■ + 0,22 ■ ■₂ + 0,14 ■ ■₃ = 14, < 0,18■ ■ + 0,20■ ■₂ + 0,18■ ■₃ = 14, 0,21 ■ ■ + 0,20 ■ ■₂ + 0,15 ■ ■₃ = 14.

Отже, Х'=4, х2=3, х3=5. ►

Приклад 4. Розв'язати матричне рівняння AX+B=C,

А Із рівняння одержуємо X = A 1 (C - B).

Розв'яжемо поставлену задачу методом зворотної матриці з використан­ням програми Maxima. Розв'язки матричного рівняння знаходимо за формулою X = A^-1B, для чого спочатку вводимо матрицю системі A і матрицю вільних членів B, а потім за допомогою функції invert знаходимо суми вкладень кош­тів у кожен із видів акцій.

О wxMaxima 0.7.4 [ Лінійна алгебра.wxi
Файл	Правка	Maxima	Уравнения і	Алгебра Аналк
В e	a m		□ @	©	О 1	)----------

 

(%il) A:matrix([0.2,0.22,0.14],

[0. IB, 0. 2, 0. IB], [0.21,0.2,0.15])S

(%І2) В: matrix ([ 14],

[14], [14])S

(%ІЗ) X: invert (A). В;

24.99999999999983 (%o3) 25.0

24.99999999999991

Рис. 2.10. Фрагмент обчислень у Maxima

Отже, суми вкладень капіталу, відповідно, у перший, другий та третій вид акцій Хі=25 млн. грн., х₂=25 млн. грн., х₃=25 млн. грн. ►