Приклади. Приклад 1. Знайти добуток матриці на число:

Приклад 1. Знайти добуток матриці на число:

(1 3 0^ (-2 -6 0^л А -2-1 2 4=2 -4 -8

1² -^{1 3}) V-^{4 2} -6

 

-2 -3^ 4 1,

2І>"~ 1-1

3) = 12

1 -1 2 0

-1 ► , В =

Приклад 2. Знайти 2А-В, якщо А '2 -2 2 \/ 0 -2 -3

В

2 0 5 5 -4 -5 (2 1 л 0 -1 -1 -2

А 2 А - В =

-1 1 1) 2 -2 3Г

V

V

4 0 -4/ \-1 4 1 Приклад 3. Знайти С= - 3А+4В, якщо А АЦей випадок неможливий - матриці А і В мають різні розміри. ►

 

Приклад 4. Комбінат хлібопродуктів закуповує у двох фермерських гос­подарствах (№1 і №2) зерно пшениці 3, 4, 5 класів відповідно до плану закупі-

вель, що наведений у таблиці 2.1. Знайти кількість зерна пшениці кожного кла­су, що закуплено комбінатом у фермерських господарствах за 3 місяці.

Таблиця 2.1

Місяць	Постачальники	Кількість пшениці, тонн
3 клас	4 клас	5 клас
липень	ф/г №1
ф/г №2
серпень	ф/г №1
ф/г №2
вересень	ф/г №1
ф/г №2

 

^ Складемо матрицю закупівлі пшениці в липні:

_А /1000 2000 1000\ •• • • - • A = 2000 1000 500 /' кількість закупленої пшениці в серпні и у вересні не­змінна, тому матрицю закупівлі в ці місяці можна виразити матрицею _D /1500 2000 1000\ _к - -

B = \ 1800 1500 800 ' кількість зерна пшениці за кожним класом, що закуп­лено комбінатом у фермерських господарств за 3 місяці можна знаИти як A+2B.

Розв'яжемо поставлену задачу з використанням програми Maxima. Спо­чатку потрібно ввести матриці A і B, а потім виконати необхідні операції.

Для введення матриць необхідно після привласнення імені через дво­крапку написати функцію matrix, аргументами якої є рядки матриці, розділені комами.

Для матричних обчислень використовуються наступні символи: «*» - множення матриці на число, «.» - матричне множення, «+» - су­ма матриць, «-» - різниця матриць.

(%il) A: matrix ([1000,2000,1000], [2000, 1000,500]); 1000 2000 1000

(%ol)

2000 1000 500

(%І2) В:matrix([1500,2000, 1000], [1800, 1500, 800]); 1500 2000 1000

(%о2)

1800 1500 800

(%ІЗ) А+ 2 * В;

4000 6000 3000

(%оз)

5600 4000 2100

Рис. 2.1. Фрагмент обчислень у Maxima

Таким чином, комбінат хлібопродуктів за 3 місяці закупив:

- пшениці 3 класу ф/г №1 - 4000 тн., ф/г №2 - 5600 тн.

- пшениці 4 класу ф/г №1 - 6000 тн., ф/г №2 - 4000 тн.

- пшениці 5 класу ф/г №1 - 3000 тн., ф/г №2 - 2100 тн.

З останньої матриці випливає, що загальну кількість закупленого за 3 мі­сяці зерна у фермерських господарств №1,2, склала:

- пшениця 3 класу - 9600 тн.

- пшениця 4 класу - 10000 тн.

- пшениця 5 класу - 5100 тн. ►

Рис. 2.2. Множення двох матриць

ап ап а21 а22 у

Множення матриць. Операція множення матриць здійснюється за своєрідним законом. Добутком матриці А на матрицю В називається нова мат­риця С=АВ, елементи якої складаються за алгоритмом рис. 2.2:

С у

тобто за формулою:

Єу _ а а • Ьіу + аі2 • Ь 2у+■■■+ап ■ Ьу ⁽⁽=^{1 т; у}_¹ р)

Ч Ь_п Ьі2 Ьіз І _ (а_пЬ_п + аі2Ь2і а_пЬі2 + а^ а_пЬ_и + ^аі2^Ь23 | ^Ь2і Ь22 Ь2з у ^а2]Ьц І а22^21 ^^2іЬі2 + 0^22Ь22 ^^2іЬіз + 0^22Ь23 у

Таким чином, щоб одержати, наприклад, у матриці-добутку (тобто у ма­триці С) елемент, що розташований у 1-му рядку й 3-му стовпці є₁₃, потрібно у 1-ій матриці взяти 1-ий рядок, у 2-ій - 3-ій стовпець, і потім елементи рядка помножити на відповідні елементи стовпця й отримані добутки скласти. Інші елементи матриці-добутку знаходять за допомогою аналогічного добутку ряд­ків першої матриці й стовпців другої матриці.

Розміри матриць-співмножників повинні бути погоджені. Перемножува­ти можна тільки ті матриці, у яких число стовпців першої матриці збігається із числом рядків другої матриці (тобто довжина рядка першої дорівнює висоті стовпця другої).

У загальному випадку, якщо ми множимо матрицю А = (ау) розміру т^хп на матрицю В = (Ьу) розміру п^хр, то одержимо матрицю С розміру т^хр, еле­менти якої обчислюються у такий спосіб: елемент єу отримаємо в результаті добутку елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи у-го стовпця ма­
триці В і додавання отриманих результатів.

Із цього правила випливає, що завжди можна перемножувати дві квад­ратні матриці одного порядку, у результаті одержимо квадратну матрицю того ж порядку. Зокрема, квадратну матрицю завжди можна помножити саму на се­бе, тобто піднести у квадрат. Операція множення матриць природним чином поширюється на випадок декількох множників. На підставі цього маємо:

А^п = А-А---А

V

п

Іншим важливим випадком є множення матриці-рядка на матрицю- стовпець, причому довжина першої повинна дорівнювати висоті другої матри­ці, у результаті одержимо матрицю першого порядку (тобто один елемент).

 

ґи\

Ь і

(а1Ь1 + а2Ь2 + а3Ь3).

Ь2 Ч Ьз У

Дійсно, (а₂ а₃)

 

С = АВ