Приклади. Приклад 1. Розв'язати задачу: Два туристи йдуть назустріч один одному з пунктів А і В

Приклад 1. Розв'язати задачу: Два туристи йдуть назустріч один одному з пунктів А і В. Перший виходить з А на 6 годин пізніше, ніж другий з В, і при зустрічі в пункті С виявляється, що він пройшов на 12 км менше за другого. Продовжуючи після зустрічі шлях з тією ж швидкістю, перший приходить у В через 8 годин після зустрічі, а другий у А - через 9 годин. Визначити відстань

АВ і швидкість обох пішоходів.

Рис. 1.26. Рух пішоходів

^ Нехай у₁₅ у₂ (км/год) - швидкості першого і другого пішоходів, а від­стань АВ позначимо за 5. Зобразимо рух пішоходів графічно.

Оскільки ділянку СВ перший пройшов за 8 годин, то ВС = 8у ₁. Другий пройшов відстань СА

за 9 годин, тому АС = 9у₂. З умови задачі маємо: АС +12 = ВС ^ 9у₂ +12 = 8У₁.

Виразимо час, витрачений пішоходами від початку руху до їхньої зу­.. АС 9у₂ ВС 8У, стрічі: г₁ =----- = —-, і₂ =------- = —¹.

V,

V,

V

 

, 8v1 —1 + 6 = —1.

Перший вийшов на 6 годин раніше, тому: і₁ + 6 = і₂

V

V,

 

v2 _

= а і

Зробимо заміну:

v1

і розв яжемо рівняння:

 

8 ₂ 2 4

9а + 6 = — ^ 9а + 6а - 8 = 0 ^ а₁ = —, а₂ = —. а 3 3

v1 = 6 V = 4

Але а - це відношення швидкостей, а значить його значення більше ну­ля. Одержимо систему:

v₂ = 2 V"" 3

9^ -12 = 8v₁ Виходить, 5 = АС + ВС = 9^ + 8^ = 84. Відповідь: 5 = 84, V = 6, v₂ = 4. ►

Приклад 2. Розв'язати задачу: Дві труби, працюючи одночасно, напов­нюють басейн за 12 годин. Якщо працює тільки перша труба, то вона наповнює басейн на 10 годин повільніше, ніж тільки друга. За скільки годин наповнює ба­сейн тільки друга труба?

^ Нехай х (м³) - об'єм басейну і і (год.) - час наповнення басейну тіль­ки другою трубою. Тоді тільки перша труба наповнить басейн за і +10 годин.

х х

. За 12 годин спільної

Знаходимо продуктивність цих труб: Ы₂ = —, N₁ = ——

роботи з загальною продуктивністю N₁ + N₂ заповнюється весь басейн:

^х х ^Л — +

• 12. Скоротивши на х і перетворивши останнє рівняння отрима-

V г г +10)

ємо: г (г +10) = (2г +10)12. Розкриємо вирази у дужках і перенесемо всі додан­ки з правої частини рівняння в ліву. Одержимо квадратне рівняння:

х=

г²-14г-120 = 0 ^ г₁ = 20, г₂ = -6.

Оскільки час вимірюяється у позитивних значеннях, то другий корень рівняння не підходить. Відповідь: г = 20 год. ►

Приклад 3. Розв'язати задачу: В ательє надійшли відрізи чорної, зеленої і синьої тканин. Хоча зеленої тканини було на 9 м менше, ніж чорної, і на 6 м більше, ніж синьої, вартість відрізів була однаковою. Скільки метрів тканини було в кожному відрізі, якщо відомо, що вартість 4,5 м чорної тканини дорів­нює загальній вартості 3 м зеленої і 50 см синьої'?

Відповідь: хі = 45, х2 = 13,5. ►

А Нехай х_ч, х₃, х_с - кількість чорної, зеленої і синьої тканин відповід­но. Відомо: х_ч - х₃ = 9, х₃ - х_с = 6. Використовуємо формулу: Сі = —, де Сі -

^хі

ціна тканини, Уг - вартість г-го відрізу, Хг - кількість г-ої тканини.

З умови задачі y₄ = y₃ = y_c = y. Одержимо С_ч =—, С₃ = —, С_с = —

^ХЧ ^Х3 ^хс

ціни тканин. Складемо рівняння, що зв'язує ці вартості: 4,5С_Ч = 3С₃ + 0,5С_с ^ ^^^^y = ^ +.

^хч ^хз ^хс

Виразимо х₃ і х_с через х_ч: х₃ = х_ч - 9, х_с = х₃ - 6 = х_ч -15. Скоротивши на y підставляємо в останнє рівняння:

4 5 3 0 5 ₂

=------------ + —¹— ^ хч - 58,5х_ч + 607,5 = 0, причому х_ч Ф 0; 9; 15.

^хч ^хч ^{9 х}ч

-15 ⁴...

Корені квадратного рівняння: х_ч = 45, х_ч = 13,5. Розглянемо обидва випадка:

1. якщо х_ч = 45, то х₃ = 36, х_с = 30.

2. якщо х_ч = 13,5, то х₃ = 4,5, х_с =-1,5. Другий випадок неможливий, тому що кількість тканини вимірюється у позитивних значеннях.

Відповідь: надійшло 45м чорної, 36м зеленої і 30м синьої тканини. ►

Приклад 4. Знайти розв'язок рівняння у=х²-58,5х+607,5 створеного у по­передньому прикладі.

АЗастосуємо функцію solve програми Maхima.

 

 

Вивчивши зміст розділу, студент має опанувати основні прийоми розв'язуван­ня систем лінійних алгебраїчних рівнянь, як вручну так із застосуванням вільного програмного забезпечення.

2.1. Визначення матриці

2. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Матрицею розміром т*п називається сукупність т-п чисел, розташова­них у вигляді прямокутної таблиці з т рядків і п стовпців. Цю таблицю зазви­чай беруть у круглі дужки. Наприклад, матриця може мати вигляд:

 

	(11
, (4),
	V3 у

0 0 3 -1

Ґ 2 1 -з 42 1,5

2 1

0 1

п

 

Для стислості матрицю можна позначати однією заголовною літерою, наприклад, А або В.

У загальному вигляді матрицю розміром т^хп записують так:

^Ґ а_п а_х1... а±п^{Л а}21 ^а22 ••• ^а2 п

А =

V ^ат1 ^ат 2 • • • ~тп у

Числа, що складають матрицю, називаються елементами матриці. Еле­менти матриці зручно позначати літерою із двома індексами ау: перший указує номер рядка, а другий - номер стовпця. Наприклад, а₂₃ - елемент розташований у 2-му рядку 3-го стовпця.