Приклади. Приклад 1. Дано 2 сторони трикутника а, Ь і медіана тс, проведена до сторони с

Приклад 1. Дано 2 сторони трикутника а, Ь і медіана т_с, проведена до сторони с. Знайти сторону с.

А Добудуємо трикутник ABC до паралелог­рама АСВК. При цьому KC = 2 • m_c. За властиві-

2 2 2 2 стю паралелограма: 4m_c + c = 2b + 2a. Звідси

2 2 2 одержуємо: c = 2b + 2a -4m_c.

I 2 2 2

Відповідь: c = ^2a + 2b - 4m_c.►

Приклад 2. В колі проведені 3 хорди: АЫ = 6 см, МВ = 4 см, МС = 1 см. Хорда МВ поділяє вписаний кут АМС навпіл. Знайти радіус кола.

А Нехай кут АМВ = а. За теоремою косинусів із трикутника АМВ маємо:

Рис. 1.8. Паралелограм ACBK

АВ² = АМ² + МВ² - 2 АМ • ВМсоб а = 52 - 48соб а. Аналогічно з трикутника ВМС маємо: ВС² = ВМ² + МС² -2ВМ • МСсоБа = 17- 8соБа. Відрізки АВ і ВС рівні як хорди, що стягають рівні дуги, тому віднімемо з першого рівняння друге й одержимо:

35 = 7 40 = 8

0 = 35 — 40 cos а Таким чином,

cos а

AB¹ = 52 — 48cosa = 52 — 48-- = 52 — 42 = 10,

sin а

cos а

 

Трикутник АМВ, є вписаним у коло, отже, радіус кола можна знайти за допомогою теореми синусів:

 

f 7 Y

AB

2 R

sin а

І

18 J

I2 5 4 16 = 32 відповідь: R 3-5-4 3

R = 1 I 10 2 J 64 — 49 64

[10-64 15-4

 

Приклад 3. У сектор радіуса Я з центральним кутом а вписане коло. Знайти радіус кола.

Дано: АВ = АС = Я, кут ВАС = а. Знайти: ОН = г.

Л Оскільки центри кругів і точки перетину роз­ташовані на одній прямій, то АО = Я - г.

Розглянемо трикутник АОН (він прямокутний,

_а

тому що кут ОНА = 90⁰): кут НАО = — з рівності

трикутників АОН і АОМ (тому що ОН=ОМ=г, АН=АМ як відрізки дотичних, проведених з однієї точки, сторона АО - спільна).

Оскільки, синус кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню

Рис. 1.10. Сектор ра­діуса R

катета, що розташований напроти гіпотенузи, маємо:

а OH r а _fIi • а.а sin— =----------------------- = ^ (sin— (R — r) = r) ^ (R - sin-- r - sin— = r) ^

2 AO R — r

 

. а.а _ч (R - sin— = r - sin—+ r) 2 2

. а R sin—

Відповідь: r =---------- —.►

а

1 + sin— 2

 

Приклад 4. Основи трапеції 5 дм і 40 см. Знайти довжину відрізка, що з'єднує середини діагоналей.

Л Нехай АВСБ - трапеція, точка Р - середина діагоналі АС, точка К - сере­дина діагоналі ВО.

Точки Р й К розташовані на середній лінії ЕР трапеції. З того, що ЕК - сере­дня лінія трикутника АВО, а середня лінія трикутника - це відрізок, що з'єднує

середини двох сторін трикутника, паралель­ний третій стороні і дорівнює іі половині,

випливає, що EK = — см = 25 см.

Аналогічно, EP = — см = 20 см, оскі-

льки ЕР є середньою лінією А ABC.

Отже, PK = EK - EP = 25 - 20 = 5 см. Відповідь: 5 см. ►

1.4. Індивідуальне завдання № 1.2

Студент повинен розв'язати одну з наведених нижче задач, вибравши її за своїм номером у журналі групи.

Знайти:

1. Синус кута B трикутника ABC, якщо AC = 4 см, BC = 5 см, cos A = —;

2. Довжину сторони ромба, якщо довжини діагоналей ромба відносяться як 1:2, а площа ромба дорівнює 12 см;

3. Площу кільця, якщо у коло вписаний правильний трикутник, площа якого дорівнює 9л/з см², і в трикутник вписане коло;

4. Площу трикутника ABD, якщо в трикутнику ABC кут при вершині C дорівнює 135⁰, AC = 6 см, висота BD = 2 см;

5. Синус кута A трикутника ABC, якщо AC = 4см, BC = 7см, AB = 5см;

З

6. Довжину сторони AB трикутника ABC, якщо BC = 9 см, cos C = —,

₌2 sin A = —;

7. Відстань від центра кола до хорди, яка стягає дугу в 60⁰, якщо радіус кола Зл/27 см;

8. Довжину першої діагоналі, якщо друга діагональ паралелограма, дов­жиною 4л/6 см, утворює з основою кут 60⁰, а перша діагональ утворює з тією ж основою кут 45;

9. Відстань від центра кола до хорди, якщо в колі, площа якого дорівнює 6,25псм, проведена хорда довжиною 3 см;

10. Суму довжин катетів прямокутного трикутника, якщо в трикутнику довжина гіпотенузи дорівнює 20 см, а радіус вписаного кола - 4 см;

11. Довжину сторони ромба, якщо площа ромба дорівнює 18 см, а гост­рий кут 30⁰;

Рис. 1.11. Трапеція ABCD

12. Відстань між точкою M і основою H висоти CH у прямокутному трикутнику ABC, якщо катет AC = 7 см і медіана CM = 7 см, проведена до гіпо­
тенузи AB;

13. Відношення у якому поділяє площу трапеції відрізок довжини 5 см, що з'єднує бічні сторони рівнобедреної трапеції, якщо цеИ відрізок паралельниИ її основам, рівним 2 см і 7 см;

14. Периметр рівнобедреного трикутника із кутом 120⁰, що вписаниИ у коло радіуса 10 см;

15. Площу спільної частини кіл радіуса 6 см, якщо O₁ і O₂ - центри кіл,

O₁O₂ = 6-J2 см;

16. Площу кола, описаного навколо рівнобедреної трапеції, якщо у цієї трапеції висота дорівнює 14 см, а основи рівні 12 см і 16 см;

17. Периметр квадрата вписаного у прямокутниИ трикутник із катетами a і b, якщо квадрат має з трикутником спільниИ прямиИ кут;

18. Основи рівнобедреної трапеції з бічною стороною, рівною 17 см, що описана навколо кола діаметром 15 см;

19. Довжину відрізка дотичної обмеженою сторонами трикутника, якщо відомо, що дотична проведена до кола, вписаного в рівнобедрениИ трикутник з основою 12 см і висотою 8 см, і паралельна основі трикутника;

20. Довжини сторін AB і AC трикутника ABC, якщо BC = 8 см, а довжи­ни висот, проведених на AC і BC, рівні відповідно 6,4 см і 4 см.

21. Довжину меншої бічної сторони трапеції, якщо її середня лінія дорі­внює 10 см, одна з основ - 8 см, один із кутів трапеції дорівнює 30⁰, а прямі, що містять бічні сторони трапеції, перетинаються під прямим кутом;

22. Висоту прямокутного трикутника проведену до гіпотенузи, якщо во­на поділяє прямиИ кут у співвідношенні 1:2, а площа трикутника дорівнює 2л/3

см;

23. Площу кола описаного навколо прямокутного трикутника, якшо пе­риметр трикутника дорівнює 24 см, а площа трикутника дорівнює 24 см²;

24. Радіус меншого кола кругового кільця, якщо Иого площа дорівнює S, а радіус більшого кола дорівнює довжині меншого кола;

25. Площу прямокутного трикутника, якщо один із Иого катетів дорів­нює 15 см, а радіус кола, вписаного в трикутник, дорівнює 3 см;

26. Довжину гіпотенузи прямокутного трикутника, якщо довжини Иого сторін утворюють арифметичну прогресію з різницею 1 см;

27. Сторону a трикутника ABC, якщо катети рівні b і є, а кут А удвічі бі­льше кута B;

28. Довжину бісектриси прямого кута, якщо катети прямокутного трику­тника рівні b і є;

29. Площу рівнобедреної трапеції, що вписана у коло радіуса 3 см, якщо трапеція має кут при основі п/4 і висоту л/2 см;

30. Площу ромба ABCD, якщо радіуси кругів, описаних біля трикутників ABC і ABD, відповідно R і r;

31. Площу спільної частини кругів радіусів R і r, якщо відстань між центрами ціх двох кругів дорівнює d.

1.5. Алгебраїчні рівняння й нерівності

Рівняння в математиці це аналітичний запис задачі про пошук значень аргументів, при яких значення двох даних функцій рівні. Перша з даних функ­цій розташована до знаку рівності, друга - після цього знаку. Аргументи, від яких залежать ці функції, називаються звичайно невідомими, а значення неві­домих, при яких значення функцій рівні, - розв'язками; про такі значення неві­домих говорять, що вони задовольняють даному рівнянню.

Наприклад, 3х-6=0 є рівнянням з одним невідомим, а х=2 є його

2 2

розв'язком; х + у = 25 є рівнянням із двома невідомими, а х=3, у=4 є одне з його рішень. Сукупність рішень даного рівняння залежить від області М зна­чень, що допускаються для невідомих. Рівняння може не мати рішень в області М, тоді воно називається нерозв'язним в області М. Якщо рівняння розв'язне, то воно може мати одне, два, або навіть безліч рішень.

Для розв'язування рівнянь існують певні правила. Наприклад, для квад­ратного рівняння виду ах²+Ьх+е=0 пошук розв'язків виконують за виразом:

2 а

ар) = ард;

-Ь ± уі Ь² - 4 ас

^Х,2

При цьому, якщо дискримінант О=Ь²- 4ас більше нуля, то хі^х₂; якщо О дорівнює нулю, то х₁=х₂, а якщо О менше нуля, то дійсних розв'язків немає. Крім того, для розв'язків квадратного рівняння існує теорема Вієта, згідно якої:

х₁+х₂ = -Ь/а; хг х₂ = с/а.

Для зведеного квадратного рівняння виду х²+рх+д=0 пошук розв'язків виконують за виразом:

Р і Р

х₁₂ =—-д, або х₁+х₂ = -р; х₁ • х₂ = д.

Якщо при розв'язуванні рівнянь маємо справу зі степенями й коренями, то бувають корисні такі формули:

:ар+д;

арад

(аЬ)^р;

а^РЬ^Р

 

о і. і а =1; а =а;

=ра

^ра = Ь ^Ь^р = а;

 

р

а1

а

а

Ьр

а

а

= а^р-д;

 

р

р а8 = а 'р •

фа = ^р^а;

 

ра =

а'

1/

р = ра:

Ь р/Ь

Степені деяких цілих чисел наведені у додатку Б.

Часто бувають корисні формули скороченого множення й розкладання на множники:

(а±Ь)²=а²±2аЬ+Ь²; (а±Ь) =а ³±3а Ь+3аЬ ±Ь; а²- Ь²=(а+Ь)(а-Ь);

а³± Ь³=(а±Ь)(а² аЬ+Ь²); (а+Ь) =а" +Ь +3аЬ(а+Ь); (а-Ь)³=а³-Ь³-3аЬ(а-Ь).

 

Математичні нерівності - це співвідношення між числами або величи­нами, що вказують, які з них більше інших. Для позначення нерівності вжива­ється знак <, звернений вістрям до меншого числа. Так, вираз 2 > 1 і вираз 1 < 2 показують теж саме: 2 більше 1, або 1 менше 2. Іноді кілька нерівностей запи­суються разом (наприклад, а < Ь < с). Бажаючи виразити, що з двох чисел а і Ь одне більше (менше) другого, або дорівнює йому, пишуть: а > Ь (Ь < а) і чита­ють: «а більше або дорівнює Ь» («Ь менше або дорівнює а»); іноді коротше: «а не менше Ь» («Ь не більше а»). Запис а # Ь означає, що числа а і Ь не рівні, але не вказує, яке з них більше. Усі ці співвідношення також називаються нерівнос­тями.

Нерівності мають багато спільних із рівностями властивостей. Так, не­рівність залишається справедливою, якщо до обох її частин додати (або від обох частин відняти) те ж саме число. Так само можна множити обидві частини нерівності на те саме позитивне число. Однак, якщо обидві частини нерівності помножити на негативне число, то зміст нерівності зміниться на зворотний (тобто знак > змінюється на <, а < на >).

З нерівності А < В і С < П випливає А + С < В + П і А - П < В - С, тобто однойменні нерівності (А < В і С < П) можна почленно складати, а різнойменні нерівності (А < В і П > С) - почленно віднімати. Якщо числа А, В, С і П пози­тивні, то з нерівностей А < В і С < П випливає також АС < ВП і А/Б < В/С, тоб­то однойменні нерівності (між позитивними числами) можна почленно пере­множувати, а різнойменні - почленно ділити.

Нерівності, у які входять величини, що приймають різні числові зна­чення, можуть бути вірні для одних значень цих величин і невірні для інших. Так, нерівність х² - 4х + 3 > 0 вірна при х = 4 і невірна при х = 2. Для нерівнос­тей цього типу виникає питання про їхні розв'язки, тобто про визначення гра­ниць, у яких варто брати величини, що належать нерівностям, щоб нерівності були справедливі.

Так, переписуючи нерівність х - 4х + 3 > 0 у вигляді: (х - 1)(х - 3) > 0, зауважують, що вона буде вірна для всіх х, що задовольняють одній з наступ­них нерівностей: х < 1, х > 3, що і є розв'язком даної нерівності.

Методом інтервалів вирішуються раціональні або дробово-раціональні

Р (_Х)

нерівності, тобто нерівності типу —0, (де Р (х) і Q (х)- багаточлени) або

^0(х)

нерівності, що до них зводяться.

Якщо х^..., х_п - усі розв'язки багаточленів Р (х) і 0 (х), розташовані в

Р (х) порядку зростання, то вираз —(або Р(х)• О(х)) не змінює знака на кожно-

 

P (x)

Це означає, що коли треба визначити знак виразу —на одному з цих

^Q(x)

інтервалів, то досить узяти будь-яку точку з цього інтервалу і розглянути зна-

P(x) -.

чення виразу —в цій точці. ^{Q (x)}

При розв'язуванні показових нерівностей виду a^j^^x^>(<) a^^x) у вигляді:

j(x) >(<Mx)

треба мати на увазі: якщо a>1, то знак не змінюється; якщо a<1, то знак зміню­ється.

В програмі Maxima є декілька функцій, що призначені для різноманітних символьних перетворень. Функція expand - розкриває дужки й зводить вираз до канонічного виду. Наступний приклад демонструє розкриття дужок:

(%І9) р1:х^Л2-1; (%о 9) х²-1

(%і10) р2:х-1; (%о 10) х-1

(%ill) expand (pl*p2); (%oll) х³-х²-х + 1

(%І12) expand((pl+p2)^Л2);

(%о12) х⁴ + 2 х³ - 3 х² - 4 х + 4

Функцію divide можна використовувати для знаходження частки й решти від ділення одного багаточлена на іншій:

(%І13) divide (pl*p2, рі); (%о13) [ х - 1, 0 J

Функція gcd визначає найбільший загальний дільник багаточленів, а factor здійснює розкладання багаточлена на множники:

(%І14) gcd (х^А3- l_f х^л2-1, х-1); (%о14) х-1

(%і 15) factor (х^л8-1);

<%о15, (х - 1)(х + 1)(х² + і)(х⁴ + і)

Підстановка будь-якого виразу замість змінної здійснюється за допомо­гою операції =. Наприклад, замінимо всі х на 5 / z:

(%І16) х^Л4+3*х^Л3-2*х, х=5/z;

10 375 625 (%ОІ6) +------------ +---

Функція rat simp виносить за дужки найбільший загальний дільник:

sqrt (хЛ2); I xl assume (н<0); [x<0 J sqrt (xA2); — x

(%І17) ratsimp(%);

10 z - 375 z - 625

(%о17) —

Використовуючи функцію assume (to assume - допускати), можна при обчисленнях ураховувати додаткові умови, що задаються нерівностями:

(%і 18

(%о 18

(%і 19 (%о 19

(%І20 (%о2 0

- забувати) знімає всі обмеження, накладені

Функція forget (to forget за допомогою assume: