Приклад. Підприємство, що займається торгово-закупівельною діяльністю, спеці­алізується на постачанні мінеральної води

Підприємство, що займається торгово-закупівельною діяльністю, спеці­алізується на постачанні мінеральної води. Щотижня в магазин №1 підприємст­во постачає 500 пляшок «Миргородської», 250 пляшок «Дніпропетровської» і 100 пляшок «Боржомі»; у магазин №2 постачає 100 пляшок «Миргородської», 500 пляшок «Дніпропетровської» і 200 пляшок «Боржомі»; у магазин №3 по­стачає 250 пляшок «Миргородської», 250 пляшок «Дніпропетровської» і 500 пляшок «Боржомі». За цими даними скласти матрицю поставок.

А Опишемо зміст цієї задачі у вигляді матриці порядку 3^Х3:

(500 100 250^л А = 250 500 250 ^100 200 500_у

Тут елемент ау означає, що магазин у одержує а пляшок і-ої мінеральної води в тиждень. Наприклад, а₃₂ =200 означає, що магазин №2 одержав 200 пля­шок «Дніпропетровської» мінеральної води. ►

а„

2.2. Види матриць

Якщо в матриці число рядків дорівнює числу стовпців, то матриця нази­вається квадратною, до того ж число її рядків або стовпців називається поряд­ком матриці. У наведених вище прикладах квадратними є друга матриця - її порядок дорівнює трьом, і третя матриця - її порядок 1.

Матриця, у якій число рядків не дорівнює числу стовпців, називається прямокутною. У прикладах це перша матриця й четверта.

Розрізняються також матриці, що мають тільки один рядок або один стовпець.

Матриця, у якої всього один рядок А = (а₁₁ а₁₂... а_1п), називається

матрицею-рядком (або рядковою), а матриця, у якої усього один стовпець, ма- трицею-стовпцем.

Матриця, усі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою й позначається (0), або просто 0. Наприклад,

0 = (0 0... 0), 0 = (0 0).

Головною діагоналлю квадратної матриці назвемо діагональ, що йде з лі­вого верхнього в правий нижній кут.

а з -о 0 2 -2 4 1 3

ч — У

Квадратна матриця, у якої всі елементи, що лежать нижче головної діа­гоналі, дорівнюють нулю, називається трикутною матрицею.

а

а

11 0

13 23 зз У

а

0 0

 

1 0Ї,0 0,

Квадратна матриця, у якої всі елементи, крім елементів, що розташовані на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною матрицею. 00 1 /1 0\ або І ^ лі. Зазначимо, що деякі елементи головної

а

11 0

Наприклад,

а

0 0

а

V " ^ ^зз у діагоналі можуть дорівнювати нулю.

Діагональна матриця, у якої всі діагональні елементи дорівнюють оди­ниці, називається одиничною матрицею й позначається буквою Е. Наприклад,

'1 0 0^Л

одинична матриця з-го порядку має вигляд Е

0 0

1 0

0 1

 

2.3. Операції над матрицями та їхні основні властивості

Рівність матриць. Дві матриці А і В називаються рівними, якщо ці мат­риці мають однакове число рядків і стовпців і їхні відповідні елементи дорів-

Ьїї ь

а

нюють ау = Ьу. Наприклад, якщо А

і В

, то А=В тільки

її

12 22 У

ї2 ч '22 У

а,

2ї

тоді, коли аїї = Ьїї, аї2 = Ьї2, а2ї = Ь2ї і а22 = Ь

Транспонування. Розглянемо довільну матрицю А, що має т рядків і п стовпців. їй можна поставити у відповідність таку матрицю В з п рядків і т стовпців, що кожен рядок є стовпцем матриці А із тим же номером (отже, ко­жен стовпець є рядком матриці А із тим же номером). Отже, якщо

	^ аїї	аї2	•• аїп "			ґ аїї	а2ї	а, ^ тї
А =	а2ї	а22.	•• а2 п	, то	В =	аї2	а22.	.. а 2 т2
	V ат ї	а 2 т 2	. а тп У			V ап ї	а2 п	.. а, тп У

 

Таку матрицю В називають транспонованою матрицею А, а перетворен­ня від А до В транспонуванням.

Таким чином, транспонування - це зміна ролями рядків і стовпців мат­риці. Матрицю, транспоновану до матриці А, зазвичай позначають А.

Зв'язок між матрицею А та її транспонованою можна записати у вигляді:

АТ = А... У ]

Операція транспонування матриць має такі властивості:

a) (А^Т)^Т = А

b) (А+В)^Т = А^Т+В^Т

c) (АВ)^Т = В^ТА^Т

ф для симетричної матриці А = А.