Дайте определение операции импликации.

В традиционной логике материальная импликация → определяется как логическая связка для пропозициональных переменных. Так, если А и В – пропозициональные переменные, то таблица истинности для А → В, или, что эквивалентно, ЕСЛИ А, ТО В, записывается в таком виде

В обычных рассуждениях, однако, выражение ЕСЛИ А, ТО В употребляется в ситуациях, в которых А и В – нечеткие множества, а не пропозициональные переменные. Например, в случае высказывания ЕСЛИ Джон болен, ТО Джон капризен, которое можно сокращенно записать как болен → капризен, болен и капризен в сущности – названия нечетких множеств.

То же самое справедливо по отношению к высказыванию ЕСЛИ яблоко красное, ТО яблоко спелое, где красное и спелое играют роль нечетких множеств.

Чтобы обобщить понятие материальной импликации на нечеткие множества, предположим, что U и V – два возможно различных универсальных множества, а A, B и C – нечеткие подмножества U, V и V соответственно.

Сначала определим смысл высказывания ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ С и затем определим ЕСЛИ А, ТО В как частный случай высказывания ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ С.

Высказывание ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ С есть бинарное нечеткое отношение в U V, определяемое следующим образом:

 

ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ С = А В + С. (1.5)

 

То есть если A, B и C – унарные нечеткие отношения в U, V и V, тогда ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ С – бинарное нечеткое отношение в U V, которое является объединением декартова произведения A и B и декартова произведения отрицания A и C. Далее высказывание ЕСЛИ А, ТО В можно рассматривать как частный случай высказывания ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ С при допущении, что С – полное множество V. Таким образом,

 

ЕСЛИ А, ТО В = ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ V = A B + V. (1.6)

 

В сущности это равнозначно интерпретации высказывания ЕСЛИ А, ТО В высказыванием ЕАЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ безразлично.

Полезно заметить, что в терминах матриц отношения А, В и С равенство (1.5) можно выразить как сумму попарных произведений, содержащих А и В (и иC)в виде вектор-столбца и вектор-строки соответственно. Так,

 

ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ C=[A] [B] + [ ] [C]

 

Пример 1.6. Проиллюстрируем (1.5) и (1.6) следующим примером. Предположим, что

U = V = 1 + 2 + 3,

А = малый = 1/1 + 0.4/2,

В = большой = 0.4/2 + 1/3,

С = не большой = 1/1 + 0.6/2.

Тогда

ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ C= (1/1 + 0.4/2) (0.4/2 + 1/3) + (0.6/2 + 1/3)

(1/1 + 0.6/2) =

= 0.4/(1,2) + 1/(1,3) + 0.6/(2,1) + 0.6/(2,2) + 0.4/(2,3) + 1/(3,1) + 0.6/(3,2),

что можно представить в виде матрицы отношения

 

ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ С = . (1.7)

Аналогично

 

ЕСЛИ А, ТО В = (1/1 + 0.4/2) (0.4/2 + 1/3) + (0.6/2 + 1/3) (1/1 +1/2+ 1/3) = 0.4/(1,2) + 1/(1,3) + 0.6/(2,1) + 0.6/(2,2) + 0.6/(2,3) +1/(3,1) + 1/(3,2) + 1/(3,3)

 

или, эквивалентно,

ЕСЛИ А, ТО В = . (1.8)