Композиционное правило вывода

Основным правилом в традиционной логике является правило modus ponens, согласно которому мы можем судить об истинности высказывания В по истинности высказывания А и импликации А → В. Например, если А – высказывание «Джон в госпитале», то В – высказывание «Джон болен», то если истинно высказывание «Джон в госпитале», то истинно и высказывание «Джон болен» [6].

Во многих привычных рассуждениях правило modus ponens используется не в точной, а в приближенной форме. В отличи от традиционной логики при приближенных рассуждениях главным инструментом будет не правило modus ponens, а так называемое композиционное правило вывода, частным случаем которого является правило modus ponens.

Композиционное правило вывода – это всего лишь обобщение следующей знакомой процедуры. Предположим (см. рисунок 1.6), что имеется кривая y=f(x), а также то, что: x=a, y=f(x), x=a, y=b=f(a). Обобщим теперь этот процесс (см. рисунок 1.7), предположив, что a – интервал, а f(x) – функция, значения которой суть интервал y=b, соответствующий интервалу a, мы сначала построим цилиндрическое множество a’ с основанием a и найдем его пересечение I с кривой, значения которой суть интервалы. Затем спроектируем это пересечение на ось OY и получим желаемое значение y в виде интервала b.

Чтобы продвинуться еще на один шаг предположим, что A – нечеткое множество оси OX, а F – нечеткое отношение в OX OY. Вновь образуя цилиндрическое нечеткое множество A’ и его пересечение с основанием A и его пересечением с нечетким отношением F (см. рисунок 1.8). мы получим нечеткое множество , которое является аналогом точки пересечения Iна рисунке 1.8.

Рис. 1.6..Вывод y=bиз предпосылок x=aи y=f(x)

Рис. 1.7. Иллюстрация композиционного правила вывода в случае

переменных со значениями-интервалами

 

Проектируя затем это множество на осьOY. Таким образом, из того, что y=f(x)и x=A– нечеткое подмножество оси OX, мы получим значение yв виде нечеткого подмножества Bоси OY. Более конкретно, пусть μ_A, μ_A’, μ_F иμ_Bобозначают функции принадлежности множеств A, A’, FиBсоответственно.

Рис. 1.8. Иллюстрация композиционного правила

вывода для нечетких переменных

Тогда по определению множество А

и, следовательно,

Проектируя множество на ось OY, получим

 

т.е. выражение для функции принадлежности проекции на ось OY. Сравнивая это выражение с определением композиции Aи F, видим, что множество Bможно представить

B= A_°F,

 

т.е. операция композиции сводится к максминному произведению матриц.

Пример 1.5. Предположим A и F имеют вид

 

А = 0.2/1 + ½ + 0.3/3

 

и F = 0.8/(1,1) + 0.9/(1,2) + 0.2/(1,3) + 0.6/(2,1) + 1.0/(2,2) + 0.4/(2,3) + 0.5/(3,1) + 0.8/(3,2) + 1.0/(3,3).

Выражая А и F с помощью матриц и образуя матричное произведение, получим

· =

Вышеизложенное замечание и примеры помогают обосновать следующее правило вывода.

Пусть U и V – два универсальных множества с базовыми переменными u и v соответственно. Пусть R(u), R(u,v) и R(v) обозначают ограничения на u, (u,v) и v соответственно и представляют собой нечеткие отношения в U, U V и V. Пусть A и F – нечеткие подмножества множеств U и U V. Тогда композиционное правило вывода утверждает, что решение уравнений назначения

R(u) = A,

R(u,v) = F

Имеет вид

R(v) = A_°F,

 

где A_°F– композиция Aи F. В этом смысле мы можем делать вывод R(v) = A_°Fиз того, что R(u) = Aи R(u,v) = F.

В качестве простой иллюстрации применения этого правила предположим, что

U= V= 1 + 2 + 3 + 4,

 

A= малый = 1/1 + 0.6/2 + 0.2/3

F= примерно равны = 1/(1,1) + 1/(2,2) + 1/(3,3) + 1/(4,4) +

+ 0.5/((1,2) + (2,1) + (2,3) + (3,2) + (3,4) + (4,3)).

Другими словами, А - унарное нечеткое отношение в U, называемое малый, F– бинарное нечеткое отношение в _{U V}, называемое примерно равны.

Уравнения назначения в этом случае имеют вид

R(u) = малый,

R(u,v) = примерно равны,

и, следовательно, R(v) = малый °примерно равны =

что можно аппроксимировать следующим образом:

 

R(v) = более или менее малый,

если терм более или менее определяется как оператор увеличения нечеткости, где

K(1) = 1/1 + 0.7/2,

K(2) = 1/4 + 0.7/3,

K(3) = 1/3 + 0.7/4,

K(4) = 1/4.

Заметим, что применение этого оператора к R(u) дает [1 0.7 0.42 0.14] в качестве аппроксимации набора [1 0.6 0.5 0.2].

Итак, используя композиционное правило вывода, из того, что R(u) = малый и R(u,v) = примерно равны, мы вывели, что

 

R(v) = [1 0.6 0.5 0.2] точно

 

и R(v) = более или менее малый – в качестве лингвистического приближения. Словами этот приближенный вывод можно записать в виде

 

u – малый предпосылка

u и v – примерно равны предпосылка

v – более или менее малый приближенный вывод.