Показатели центра распределения

Средняя арифметическая для дискретного ряда распределе­ния рассчитывается по формуле

x- варианты значений признака

f- частота повторений данного варианта

 

В интервальном вариационном ряду средняя арифметиче­ская определяется по формуле

где - середина соответствующего интервала.

В отличие от средней арифметической, рассчитываемой на основе использования всех вариантов значений признака, мода и медиана характеризуют величину варианта, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду. Медиана (Ме) соответствует варианту, стоящему в середине ран­жированного ряда.

Положение медианы определяется ее номером , где n-число единиц в совокупности.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мо­да или медиана. Для определения их величины используются сле­дующие формулы:

где нижняя граница медианного интервала;

- величина интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

- частота медианного интервала.

Мода (Мо) - наиболее часто встречающееся значение призна­ка в совокупности - для данного ряда распределения также равна четвертому разряду (этому разряду соответствует максимальная частота, равная 8).

Наибольшая частота соответствует также интервалу 5,5 - 6,4, т.е. мода должна находиться в этом интервале. Ее величину опре­деляем по формуле:

где - начало модального интервала;

- частота, соответствующая модальному интервалу;

предмодальная частота;

- послемодальная частота.

Показатели вариации (колеблемости) признака

Размах колебаний, или размах вариации, представляет со­бой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:

Среднее линейное отклонение а вычисляется по следующим формулам:

для несгруппированных данных

для сгруппированных данных

Дисперсия - средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины. Дисперсия рассчи­тывается по следующим формулам:

для несгруппированных данных:

для сгруппированных данных

 

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:

для несгруппированных данных

для сгруппированных данных

Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратиче­ское отклонение являются величинами именованными. Они имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные зна­чения признака.

 

Расчет показателей вариации для банков, сгруппированных по размеру прибыли, показан в Таблице

 

Размер прибыли, млрд руб.	Число банков	Расчетные показатели
			/ /f
3,7-4,6 (-)		4,15	8,30	-1,935	3,870	7,489
4,6-5,5		5,05	20,20	-1,035	4,140	4,285
5,5-6,4		5,95	35,70	-0,135	0,810	0,109
6,4-7,3		6,85	34,25	+0,765	3,825	2,926
7,3-8,2		7,75	23,25	+1,665	4,995	8,317
Итого			121,70		17,640	23,126

 

млрд руб

млрд руб.

млрд руб.

Если в качестве показателя центра распределения использу­ется медиана, то для характеристики вариации признаков в сово­купности можно применить так называемое квартильное откло­нение

где Q1 и Q3—соответственно первая и третья квартили распределения

Квартили определяются по формулам, аналогичным при­веденной выше формуле для расчета медианы.

При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости од­ного и того же признака в нескольких совокупностях с различ­ной величиной средней арифметической пользуются относитель­ными показателями вариации. Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей вариации к средней ариф­метической (или медиане).

Коэффициент осцилляции:

Относительное линейное отклонение

Коэффициент вариации

Относительный показатель квартильной вариации

, или

Наиболее часто применяемый показатель относительной ко­леблемости - коэффициент вариации. Его используют не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики од­нородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределе­ний, близких к нормальному).