ax + by + cz + d = 0;
если а = 0, By+Cz+D=0,плоскость параллельна прямой Ох;
если b = 0,Ax+Cz+D=0, плоскость параллельна прямой Оy;
если c = 0,Ax+By+D=0, плоскость параллельна прямой Oz;
если d = 0 ,ax + by + cz= 0, плоскость проходит через начало координат;
если a = b = 0,Cz+D=0, плоскость параллельна плоскости xОy;
если a = c = 0, By+D=0,плоскость параллельна плоскости xОz;
если b = c = 0, Ax+D=0,плоскость параллельна плоскости yОz;
11.Уравнение плоскости проходящей через три точки.
| Найдем уравнение плоскости проходящей через точки три заданные точки.
|
| M1 = (1, 2, -2) M2 = (3, 7, 2) M3 = (-2, -1, 1)
|
| Возьмем произвольную точку М (x,y,z) принадлежащую плоскости, уравнение которой нам необходимо найти.
|
| Найдем координаты следующих векторов.
|
|
|
| = (x - (- 2), y - (- 1), z - 1)
| |
| M3M
| |
|
|
| = (1 - (- 2), 2 - (- 1), -2 - 1) = (3, 3, -3)
| |
| M3M1
| |
|
|
| = (3 - (- 2), 7 - (- 1), 2 - 1) = (5, 8, 1)
| |
| M3M2
| |
| Данные векторы имеют свое начало в точке M3.
|
| Очевидно, что если все четыре точки лежат в одной плоскости, то объем треугольной пирамиды, ребрами которой являются найденные векторы, равен нулю.
|
| Равенство нулю объема рассматриваемой пирамиды записывается следующим образом:
|
|
|
| x - (- 2)
| y - (- 1)
| z - 1
|
| = 0
| |
|
|
| -3
| |
|
|
|
| |
| | | | | | | | | | | | | | | | | |
| Представим данный определитель в виде разности двух определителей.
|
|
|
| x - (- 2)
| y - (- 1)
| z - 1
|
| =
| |
|
| -3
| |
|
|
|
|
|
| |
| Первый определитель разлагаем по первой строке.
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
| = x * det A - y * det B + z * det C - det D = 0
|
| det A =
|
|
| -3
|
| = 3 * 1 - (-3) * 8 = 3 - (-24) = 27
| |
|
|
| |
| | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| det B =
|
|
| -3
|
| = 3 * 1 - (-3) * 5 = 3 - (-15) = 18
|
|
|
|
| det C =
|
|
|
|
| = 3 * 8 - 3 * 5 = 24 - 15 = 9
|
|
|
|
| К элементам строки 2 прибавляем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 3.
|
| Разлагаем определитель по элементам второй строки.
|
| = 3* ((-1) * 1 - 1 * 8) =
|
| Подставим найденные значения определителей и получим уравнение плоскости.
|
| 27 * x - 18 * y + 9 * z + 27 = 0
|
| Разделим коэффициенты уравнения на 9.
|
| Окончательно получим искомое уравнение плоскости.
|
| 3 * x - 2 * y + z + 3 = 0
|
