Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

На дом. № 3956, 3958, 3960, 3966, 3988, 3990, 4000.





Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной первого порядка . Оно имеет вид:

, , (2.1)

где и -- известные функции независимой переменной , непрерывные на промежутке .

Если , то уравнение (2.1) называется линейным однородным, исходное же уравнение (2.1) с правой частью называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Однородное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение такого вида:

.

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что решение ищется в виде

, (2.2)

где -- неизвестная функция от . В результате подстановки (2.2) в уравнение (2.1) получаем дифференциальное уравнение, интегрируя которое, удаётся найти функцию .

Пример 2.1. Решить уравнение

. (2.3)

Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид: , его общее решение , . Общее решение уравнения (2.3) ищем в виде

, (2.4)

где - неизвестная функция. Подставляя (2.4) в (2.3), получаем уравнение , откуда .

В итоге, общее решение уравнения (2.3):

, .

Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно как функции независимой переменной , т.е. имеет такой вид:

.

 

Пример 2.2. .

Решение. Данное уравнение является линейным относительно функции и её первой производной:

. (2.5)

Сначала решаем соответствующее однородное уравнение

.

Его общее решение имеет вид , . Решение уравнения (2.5) ищем в виде

, (2.6)

где - неизвестная функция. Подставляя (2.6) в (2.5), имеем:

откуда

.

Интегрируя по частям, получим:

В итоге:

. (2.7)

Подставляя (2.7) в (2.6), получаем общее решение исходного дифференциального уравнения:

.

 

3957. Решить уравнение

Решение. Разделим на левую и правую части уравнения. Поскольку не обращается в нуль нигде на оси ОX, никакие решения уравнения потеряны не будут. Получим:

. (2.8)

Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

.

Проинтегрируем, предварительно разделив переменные:

.

Общее решение уравнения (2.8) ищем методом вариации постоянной, подставив в (2.8)

, (2.9)

где C(x) - неизвестная функция, получим:

,

откуда

; .

Подставив в (2.9), получим общее решение исходного дифференциального уравнения:

,

 

3961. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение становится линейным, если считать функцией независимой переменной . Тогда уравнение примет вид:

(2.10)

Интегрируя соответствующее однородное уравнение, получаем:

.

Решение уравнения (2.10) ищем в виде

. (2.11)

Подставив (2.11) в (2.10), получим:

;

Интегрируя по частям дважды, имеем:

Зная , находим общее решение исходного дифференциального уравнения:

.

Уравнение Бернулли имеет вид . При и оно является линейным, при других значениях приводится к линейному виду с помощью перехода к новой неизвестной функции .

 

Пример 2.3. Решить уравнение

. (2.12)

Решение. Разделив обе части уравнения на , получим

.

При этом следует учесть, что является частным решением исходного уравнения. Сделав замену переменных , заметим, что . В результате уравнение (2.12) будет преобразовано к виду

. (2.13)

Решая однородное уравнение находим

,

Подставив в (2.13), получим ,

откуда:

и

Общее решение исходного уравнения:

.

 

4043. Решить уравнение Бернулли

Разделив все на получим:

.

Переходим к новой неизвестной функции , тогда и уравнение принимает вид

(2.14)

Соответствующее однородное уравнение решаем методом разделения переменных:

.

Решение неоднородного уравнения ищем в виде

.

После подстановки в (2.14) получаем уравнение

,

из которого после сокращений получаем:

.

Решение уравнения:

 

Контрольные вопросы.

 

  1. Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка.
  2. В каком случае линейное дифференциальное уравнение называется однородным, а в каком – неоднородным?
  3. В чем состоит метод вариации произвольной постоянной?
  4. Какой вид имеет уравнение Бернулли? Опишите метод решения уравнения Бернулли.

 

 







Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 433. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Плейотропное действие генов. Примеры. Плейотропное действие генов - это зависимость нескольких признаков от одного гена, то есть множественное действие одного гена...

Предпосылки, условия и движущие силы психического развития Предпосылки –это факторы. Факторы психического развития –это ведущие детерминанты развития чел. К ним относят: среду...

Анализ микросреды предприятия Анализ микросреды направлен на анализ состояния тех со­ставляющих внешней среды, с которыми предприятие нахо­дится в непосредственном взаимодействии...

Типы конфликтных личностей (Дж. Скотт) Дж. Г. Скотт опирается на типологию Р. М. Брансом, но дополняет её. Они убеждены в своей абсолютной правоте и хотят, чтобы...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия