На дом. № 3956, 3958, 3960, 3966, 3988, 3990, 4000.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной первого порядка . Оно имеет вид: , , (2.1) где и -- известные функции независимой переменной , непрерывные на промежутке . Если , то уравнение (2.1) называется линейным однородным, исходное же уравнение (2.1) с правой частью называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Однородное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение такого вида: . Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что решение ищется в виде , (2.2) где -- неизвестная функция от . В результате подстановки (2.2) в уравнение (2.1) получаем дифференциальное уравнение, интегрируя которое, удаётся найти функцию . Пример 2.1. Решить уравнение . (2.3) Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид: , его общее решение , . Общее решение уравнения (2.3) ищем в виде , (2.4) где - неизвестная функция. Подставляя (2.4) в (2.3), получаем уравнение , откуда . В итоге, общее решение уравнения (2.3): , . Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно как функции независимой переменной , т.е. имеет такой вид: .
Пример 2.2. . Решение. Данное уравнение является линейным относительно функции и её первой производной: . (2.5) Сначала решаем соответствующее однородное уравнение . Его общее решение имеет вид , . Решение уравнения (2.5) ищем в виде , (2.6) где - неизвестная функция. Подставляя (2.6) в (2.5), имеем: откуда . Интегрируя по частям, получим: В итоге: . (2.7) Подставляя (2.7) в (2.6), получаем общее решение исходного дифференциального уравнения: .
3957. Решить уравнение Решение. Разделим на левую и правую части уравнения. Поскольку не обращается в нуль нигде на оси ОX, никакие решения уравнения потеряны не будут. Получим: . (2.8) Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному: . Проинтегрируем, предварительно разделив переменные: . Общее решение уравнения (2.8) ищем методом вариации постоянной, подставив в (2.8) , (2.9) где C(x) - неизвестная функция, получим: , откуда ; . Подставив в (2.9), получим общее решение исходного дифференциального уравнения: ,
3961. Решить уравнение . Решение. Это уравнение становится линейным, если считать функцией независимой переменной . Тогда уравнение примет вид: (2.10) Интегрируя соответствующее однородное уравнение, получаем: . Решение уравнения (2.10) ищем в виде . (2.11) Подставив (2.11) в (2.10), получим: ; Интегрируя по частям дважды, имеем: Зная , находим общее решение исходного дифференциального уравнения: . Уравнение Бернулли имеет вид . При и оно является линейным, при других значениях приводится к линейному виду с помощью перехода к новой неизвестной функции .
Пример 2.3. Решить уравнение . (2.12) Решение. Разделив обе части уравнения на , получим . При этом следует учесть, что является частным решением исходного уравнения. Сделав замену переменных , заметим, что . В результате уравнение (2.12) будет преобразовано к виду . (2.13) Решая однородное уравнение находим , Подставив в (2.13), получим , откуда: и Общее решение исходного уравнения: .
4043. Решить уравнение Бернулли
Разделив все на получим: . Переходим к новой неизвестной функции , тогда и уравнение принимает вид (2.14) Соответствующее однородное уравнение решаем методом разделения переменных: . Решение неоднородного уравнения ищем в виде . После подстановки в (2.14) получаем уравнение , из которого после сокращений получаем: . Решение уравнения:
Контрольные вопросы.
|