Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

На дом. № 3956, 3958, 3960, 3966, 3988, 3990, 4000.





Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной первого порядка . Оно имеет вид:

, , (2.1)

где и -- известные функции независимой переменной , непрерывные на промежутке .

Если , то уравнение (2.1) называется линейным однородным, исходное же уравнение (2.1) с правой частью называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Однородное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение такого вида:

.

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что решение ищется в виде

, (2.2)

где -- неизвестная функция от . В результате подстановки (2.2) в уравнение (2.1) получаем дифференциальное уравнение, интегрируя которое, удаётся найти функцию .

Пример 2.1. Решить уравнение

. (2.3)

Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид: , его общее решение , . Общее решение уравнения (2.3) ищем в виде

, (2.4)

где - неизвестная функция. Подставляя (2.4) в (2.3), получаем уравнение , откуда .

В итоге, общее решение уравнения (2.3):

, .

Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно как функции независимой переменной , т.е. имеет такой вид:

.

 

Пример 2.2. .

Решение. Данное уравнение является линейным относительно функции и её первой производной:

. (2.5)

Сначала решаем соответствующее однородное уравнение

.

Его общее решение имеет вид , . Решение уравнения (2.5) ищем в виде

, (2.6)

где - неизвестная функция. Подставляя (2.6) в (2.5), имеем:

откуда

.

Интегрируя по частям, получим:

В итоге:

. (2.7)

Подставляя (2.7) в (2.6), получаем общее решение исходного дифференциального уравнения:

.

 

3957. Решить уравнение

Решение. Разделим на левую и правую части уравнения. Поскольку не обращается в нуль нигде на оси ОX, никакие решения уравнения потеряны не будут. Получим:

. (2.8)

Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

.

Проинтегрируем, предварительно разделив переменные:

.

Общее решение уравнения (2.8) ищем методом вариации постоянной, подставив в (2.8)

, (2.9)

где C(x) - неизвестная функция, получим:

,

откуда

; .

Подставив в (2.9), получим общее решение исходного дифференциального уравнения:

,

 

3961. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение становится линейным, если считать функцией независимой переменной . Тогда уравнение примет вид:

(2.10)

Интегрируя соответствующее однородное уравнение, получаем:

.

Решение уравнения (2.10) ищем в виде

. (2.11)

Подставив (2.11) в (2.10), получим:

;

Интегрируя по частям дважды, имеем:

Зная , находим общее решение исходного дифференциального уравнения:

.

Уравнение Бернулли имеет вид . При и оно является линейным, при других значениях приводится к линейному виду с помощью перехода к новой неизвестной функции .

 

Пример 2.3. Решить уравнение

. (2.12)

Решение. Разделив обе части уравнения на , получим

.

При этом следует учесть, что является частным решением исходного уравнения. Сделав замену переменных , заметим, что . В результате уравнение (2.12) будет преобразовано к виду

. (2.13)

Решая однородное уравнение находим

,

Подставив в (2.13), получим ,

откуда:

и

Общее решение исходного уравнения:

.

 

4043. Решить уравнение Бернулли

Разделив все на получим:

.

Переходим к новой неизвестной функции , тогда и уравнение принимает вид

(2.14)

Соответствующее однородное уравнение решаем методом разделения переменных:

.

Решение неоднородного уравнения ищем в виде

.

После подстановки в (2.14) получаем уравнение

,

из которого после сокращений получаем:

.

Решение уравнения:

 

Контрольные вопросы.

 

  1. Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка.
  2. В каком случае линейное дифференциальное уравнение называется однородным, а в каком – неоднородным?
  3. В чем состоит метод вариации произвольной постоянной?
  4. Какой вид имеет уравнение Бернулли? Опишите метод решения уравнения Бернулли.

 

 







Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 433. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...


Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Броматометрия и бромометрия Броматометрический метод основан на окислении вос­становителей броматом калия в кислой среде...

Метод Фольгарда (роданометрия или тиоцианатометрия) Метод Фольгарда основан на применении в качестве осадителя титрованного раствора, содержащего роданид-ионы SCN...

Потенциометрия. Потенциометрическое определение рН растворов Потенциометрия - это электрохимический метод иссле­дования и анализа веществ, основанный на зависимости равновесного электродного потенциала Е от активности (концентрации) определяемого вещества в исследуемом рас­творе...

Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...

Типовые ситуационные задачи. Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической   Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической нагрузке. Из медицинской книжки установлено, что он страдает врожденным пороком сердца....

Типовые ситуационные задачи. Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт. ст. Влияние психоэмоциональных факторов отсутствует. Колебаний АД практически нет. Головной боли нет. Нормализовать...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия