На дом № 3902, 3904, 3906, 3914, 3916, 3936, 3938, 3946.

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, которое помимо неизвестных функций содержит их производные (или дифференциалы).

Если неизвестные функции, входящие в ДУ, зависят только от одной независимой переменной, то ДУ называется обыкновенным ДУ (ОДУ).

Уравнение

, (1.1)

где называется обыкновенным дифференциальным уравнением относительно функции на промежутке .

Число n называется порядком уравнения (1.1). Функция называется частным решением ОДУ (1.1), если после замены на , на ,..., на уравнение обращается в тождество на промежутке . (Предполагается, что - достаточно гладкая функция.)

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Дифференциальное уравнение вида

, (1.2)

где определена в области D на плоскости XOY, называется ОДУ первого порядка, разрешенным относительно производной.

Задачей Коши называют задачу нахождения решения уравнения (1.2), удовлетворяющего начальному условию

, где .

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку .

Общим решением дифференциального уравнения (1.2) называется функция , зависящая от одной произвольной постоянной С, если

1) функция удовлетворяет дифференциальному уравнению при любых допустимых значениях С;

2) для любого частного решения уравнения (1.2) можно подобрать постоянную C, такую, что на .

Общее решение дифференциального уравнения определяет в некоторой области плоскости XOY семейство интегральных кривых, зависящих от произвольной постоянной С. Частному решению соответствует фиксированная интегральная кривая из этого семейства.

Пример 1.1. Проверить, что функция есть общее решение дифференциального уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Дать геометрическое истолкование результата.

Решение. Функция удовлетворяет данному дифференциальному уравнению при любых значениях постоянной С, так как .

Полагая и , получим частное решение при . Общее решение определяет в плоскости XOY семейство параллельных наклонных прямых с угловым коэффициентом , частное решение определяет наклонную прямую, проходящую через начало координат.

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением с разделенными переменными.

Уравнение вида:

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Делением на произведение оно приводится к уравнению с разделенными переменными

.

Замечание. Деление на произведение может привести к потере частных решений, обращающих в нуль произведение .

Рассмотрим примеры.

 

3901. Найти общее решение уравнения:

.

Решение. Преобразуем уравнение:

.

Чтобы разделить переменные в уравнении, умножим его на выражение .

После алгебраических преобразований получим:

или .

Проинтегрировав, получим:

.

После потенцирования: , .

Далее, при делении на скобку могли быть потеряны решения и . Подстановка их в дифференциальное уравнение обращает его в тождество. Следовательно, это тоже решения.

 

3903. Найти общее решение уравнения:

Решение. Запишем уравнение в таком виде:

.

Интегрируя, получим общее решение уравнения:

, ,

 

3913. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

; .

Решение. Проведем разделение переменных и несложные тригонометрические преобразования:

.

После интегрирования получим:

.

Далее, потенцируем

и подставляем начальные условия:

.

Ответ: .

Дифференциальное уравнение называется однородным, если его можно представить в виде

.

Вводя новую неизвестную функцию имеем , После подстановки получаем уравнение с разделяющимися переменными:

.

 

Пример 1.2. .

Решение. Пусть , или , Тогда Подставляя в уравнение и , получим

.

Разделим переменные и проинтегрируем:

или ,

а так как , то, обозначая , получаем

, где .

После обратной замены переменных имеем

или

При разделении переменных имело место деление на выражение , что могло привести к потере решений, обращающих в нуль это выражение. Здесь - независимая переменная, а из следует , откуда . Проверкой убеждаемся, что функции и также являются решениями дифференциального уравнения, поэтому общее решение:

, , .

 

3937. Решить уравнение

Это – однородное уравнение. Замена переменных , позволит разделить переменные:

(В числителе первого интеграла прибавили и вычли и разделили почленно.) После интегрирования имеем:

Возвращаясь к старым переменным, получим ответ:

, .

 

Контрольные вопросы.

1. Что называется дифференциальным уравнением?
2. Что такое порядок дифференциального уравнения?
3. Что называется интегральной кривой дифференциального уравнения?
4. Что называется задачей Коши для дифференциального уравнения?
5. Что называется общим решением дифференциального уравнения?
6. Запишите общий вид уравнения с разделенными переменными.
7. Запишите общий вид уравнения с разделяющимися переменными. Опишите метод решения.
8. Запишите общий вид однородного уравнения. Опишите метод решения.