На дом №4324.2, 4324.3, 4324.4, 4326, 4331.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида

, , (7.1)

где – независимая переменная; – неизвестные функции переменной , называется нормальной системой. Считается, что функции определены в некоторой области D переменных .

Число n называется порядком нормальной системы (7.1). Две системы дифференциальных уравнений называются эквивалентными, если они обладают одними и теми же решениями.

Частным решением системы на интервале называется совокупность любых n функций

, , ,

определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале , если они обращают все уравнения системы (7.1) в верные равенства при всех значениях .

Нормальная система n уравнений первого порядка

сводится к одному уравнению прядка . На этом основан один из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений – метод исключения.

Метод исключения состоит в следующем. Из уравнений системы и уравнений, получающихся дифференцированием уравнений системы, исключаем все неизвестные функции, кроме одной. Для неё получаем одно ОДУ более высокого порядка. Решая полученное уравнение, определяем одну из функций, а остальные находим без интегрирования, из исходных уравнений и их следствий.

Проиллюстрируем этот метод на примере системы второго порядка.

(7.2)

Здесь – постоянные; – заданные функции; – искомые функции. Из первого уравнения системы (7.2) находим:

. (7.3)

Подставив во второе уравнение системы вместо правую часть выражения (7.3), а вместо – её производную, получим уравнение второго порядка относительно :

,

где – новые постоянные, связанные с , а – функция от , полученная из и . Из этого уравнения находим . Подставив и в равенство (7.3), найдем .

Пример 7.1. Решить систему уравнений:

(7.4)

Решение. Из первого уравнения системы находим

откуда

Подставив это во второе уравнение системы (7.4), получим линейное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

.

Его общее решение находим изученными ранее методами:

.

Подставив его производную в выражение для , получаем

, .

 

4324.2. Решить систему уравнений:

Решение ищем методом исключения, преобразуя систему в уравнение второго порядка. Выразим из первого уравнения и подставим во второе:

,

или

.

Характеристическое уравнение:

корни

Общее решение:

.

Подставив найденное в выражение для , получим

Общее решение системы:

Контрольные вопросы.

1. Запишите общий вид нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка.
2. Опишите метод решения систем, называемый методом исключения.