На дом № 2778, 2780, 2782, 2784, 2786, 2788, 2790, 2792, 2794, 2796.

Ниже приведены формулировки признаков сходимости рядов с неотрицательными членами.

Признак Даламбера. Если для ряда с неотрицательными членами существует предел , то этот ряд сходится при и расходится при . Случай требует дополнительного исследования. При возможны различные случаи. Так, гармонический ряд расходится, а ряд сходится, хотя для обоих этих рядов .

Признак Коши. Если для ряда существует предел , то этот ряд сходится при и расходится при . Случай требует дополнительного исследования. Ситуация с может быть проиллюстрирована теми же примерами, что и в случае признака Даламбера.

Интегральный признак Коши. Если при непрерывная, неотрицательная и монотонно убывающая функция, то ряд с неотрицательными членами , где сходится или расходится вместе с несобственным интегралом .

Пример 11.1. Исследовать на сходимостьряд Дирихле

(11.1)

Решение. При не выполняется необходимый признак сходимости (теорема 9.2), следовательно, ряд расходится. Члены ряда (11.1) являются значениями функции в точках . Функция неотрицательна и монотонно убывает (если ) при , поэтому ряд (11.1) сходится или расходится вместе с несобственным интегралом . При имеем

,

а при

,

следовательно, при ряд Дирихле расходится. Если же , то

,

следовательно, при ряд Дирихле сходится.

Рассмотрим примеры исследования сходимости числовых рядов с помощью сформулированных признаков сходимости. В примерах 11.2, 11.3 и 11.4 используем признак Даламбера.

Пример 11.2. Исследовать на сходимость ряд

.

Решение. Общие члены ряда

, .

Вычислим предел

,

следовательно, исследуемый ряд сходится.

Пример 11.3. Исследовать на сходимость ряд

.

Решение. Для этого ряда имеем:

.

Следовательно, исследуемый ряд сходится.

Пример 11.4. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Предел

.

Следовательно, исследуемый ряд расходится.

Исследование ряда в примере 11.5 проведём с помощью признака Коши.

Пример 11.5. Исследовать на сходимость ряд

.

Решение. Предел

,

следовательно, ряд расходится.

 

Пример 11.6. С помощью интегрального признака Коши исследовать сходимость ряда

.

Решение. Функция неотрицательна и убывает при , т.е. удовлетворяет всем требованиям интегрального признака сходимости Коши. Несобственный интеграл

сходится, а вместе с ним сходится и исследуемый ряд.

Определение. Ряд

(11.1)

со знакопеременными членами сходится абсолютно, если сходится ряд

. (11.2)

Теорема 11.1. Если ряд сходится абсолютно, то он и просто сходится.

Заметим, что абсолютная сходимость ряда – требование более сильное, чем просто сходимость, так как сходимость ряда не влечёт за собой сходимость ряда .

Для того, чтобы ответить на вопрос, сходится ряд абсолютно или нет, достаточно исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами.

Определение. Знакочередующийся ряд вида

,

где числа , монотонно убывая, стремятся к нулю , называется рядом Лейбница.

Теорема 11.2. Ряд Лейбница сходится и его сумма

Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость ряда не нарушается и его сумма остаётся прежней.

Пример 11.7. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд .

Решение. Сначала изучим ряд . В нашем случае . Если , то и, значит, ряд расходится. При возможны два варианта: а) если то ряд сходится (см. пример 11.1), откуда следует, что ряд сходится абсолютно; б) если , то ряд расходится, значит, исходный ряд не будет сходиться абсолютно. Исследуем его на условную сходимость. Докажем, что ряд является рядом Лейбница. Действительно, , т.е. ряд знакочередующийся, последовательность убывающая, . Согласно признаку Лейбница ряд сходится.

Таким образом, мы доказали, что исследуемый ряд расходится, если , сходится абсолютно, если , и сходится условно, если .

 

Контрольные вопросы.

 

1. Сформулируйте признак Даламбера.
2. Сформулируйте признак Коши.
3. Сформулируйте интегральный признак Коши.
4. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Сходится ли ряд, сходящийся абсолютно? В каком случае ряд называется условно сходящимся?
5. Дайте определение ряда Лейбница. Сформулируйте теорему о сходимости и сумме ряда Лейбница.