На дом № 2868, 2878, 2880, 2882, 2884, 2886, 2903, 2906, 2914, 2922, 2924, 2931, 2935.
Рассмотрим соотношение коэффициентов степенного ряда
и многочлена Тейлора функции
В соответствии с утверждением теоремы 12.2 степенной ряд в области его сходимости
Полагая в (13.1)
откуда следует
Эти выражения для
называется рядом Тейлора функции Рассмотрение вопроса о том, когда в формуле (13.3) вместо знака соответствия можно поставить знак равенства, мы вынуждены отложить. Будем считать, что функция Получим разложения некоторых функций по степеням
1.
Определим радиус сходимости полученного ряда:
следовательно, ряд (13.4) сходится на всей числовой оси при
2.
Очевидно, что
Определим радиус сходимости ряда
следовательно, ряд (13.5) сходится на всей числовой оси.
3. Почленным дифференцированием ряда (13.5) получим:
4. В случае
откуда следует, что
Получаемый ряд называется биномиальным:
Определим радиус сходимости полученного ряда:
следовательно, ряд сходится на интервале Ряд для функции
Ряд для функции
Используя возможность почленного интегрирования степенных рядов (теорема 12.3), найдем разложения для функций
Подставим в этот интеграл ряд (13.8), получим:
Таким образом,
Разложение для в которое подставим ряд
В результате почленного интегрирования получаем:
Непосредственное вычисление коэффициентов Тейлора по формулам (13.2) часто приводит к громоздким выкладкам, поэтому представляют интерес искусственные приёмы разложения функций в ряды с использованием формул (13.4) – (13.11), которые позволяют существенно упростить дело.
Пример 13.1. Разложить в ряд Маклорена функцию Решение. По формуле (13.4)
Пример 13.2. Разложить по степеням Решение. Воспользуемся разложением (13.10):
Условие сходимости ряда: Пример 13.3. Разложить в ряд Маклорена функцию Решение. Поскольку
Вычитая из первого равенства второе, получим:
Пример 13.4. Получить ряд Маклорена для интегрального синуса
Решение. Воспользуемся разложением (13.5) и проинтегрируем ряд почленно:
Контрольные вопросы.
|
в окрестности точки 
.
можно почленно дифференцировать любое число раз, т.е.
, 
(13.1)
, получим
, 
, 
,
(13.2)
называются коэффициентами Тейлора функции 
в точке 
(13.3)
по степеням 
или рядом Маклорена в случае 
.
, находя коэффициенты по формуле (13.2).
, 
,
(
) (13.4)
,
.
, 
,
, 
,
и т.д.
, 
, следовательно
. (13.5)
.
. (13.6)
.
целого положительного это бином Ньютона и в разложении содержится конечное число членов. Если же 
,
для 
.
. (13.7)
.
есть частный случай биномиального ряда при 
и может быть получен из (13.7) подстановкой 
, 
легко получить из предыдущего выражения:
, 
. (13.9)
и 
.
.
.
. (13.10)
.
.
. Пусть 
тогда при 
будет 
и формулу (13.4) можно использовать. Получаем:
.
.
, полагая 
,
или 
.
.
, запишем
,
.
.
