На дом № 2842,2844, 2846, 2856, 2860, 2864.

Важным случаем функциональных рядов являются степенные ряды:

(12.1)

или

.

Для выяснения свойств степенных рядов достаточно ограничиться рассмотрением рядов вида (12.1), так как ряд по степеням легко свести к виду (12.1) заменой переменной , т.е. переносом начала координат в точку . Для нахождения области сходимости степенного ряда сформулируем следующую теорему.

Теорема 12.1. (Абеля)Пусть степенной ряд (12.1) сходится в точке Тогда он сходится абсолютно в любой точке х, для которой и равномерно в любой области . Если степенной ряд (12.1) расходится в точке , то он расходится и во всех точках таких, что .

Для определения области сходимости степенного ряда используется либо признак Даламбера, либо признак Коши.

Рассмотрим степенной ряд

. (12.2)

Вычислим предел

. (12.3)

Если существует предел (12.3), то ряд (12.2) сходится, если , и расходится, если . Следовательно, ряд (12.1) сходится абсолютно, если

,

и расходится, если

.

Определение. Число такое, что для всех x, удовлетворяющих условию , ряд (12.2) сходится, а для всех х, удовлетворяющих условию , ряд расходится, называется радиусом сходимости ряда (12.1).

Формула для радиуса сходимости, получаемая с помощью признака Даламбера, имеет вид

(12.4)

Если же к ряду (12.2) применить признак Коши, то получим соотношение

,

из которого следует, что ряд (12.2) сходится, если , расходится, если , а радиус сходимости ряда (12.1) определяется по формуле

, (12.5)

которая носит название формулы Коши – Адамара.

Пример 12.1. Найти область сходимости ряда

при .

Решение. По признаку Даламбера:

что означает, что ряд сходится на всей оси Х.

 

Пример 12.2. Найти область сходимости ряда

Решение. По формуле Коши – Адамара (12.5) находим

,

т.е. ряд сходится в области . При получаем

,

т.е. необходимый признак сходимости не выполнен, следовательно, в точке исследуемый ряд расходится. Расходимость ряда в точке доказывается аналогично.

 

Пример 12.3. Найти область сходимости ряда

. (12.6)

Решение. Следует отметить, что формула (12.4) для радиуса сходимости выведена в предположении, что степенной ряд (12.1) содержит все степени переменной х. В нашем случае равны нулю коэффициенты при чётных степенях, поэтому

,

т.е. формулу (12.4) применить нельзя. Однако применение признака Даламбера возможно и приводит к соотношению

.

Это означает, что ряд (12.6) сходится, если , т.е. в области В точке общий член ряда

.

Согласно второму признаку сравнения этот ряд расходится вместе с гармоническим рядом, с которым производится сравнение: :

.

При исследуемый ряд принимает вид и сходится как ряд Лейбница. Следовательно, промежуток сходимости ряда: . Причем при ряд сходится условно, а при абсолютно.

 

Пример 12.4. Найти область сходимости ряда

. (12.7)

Решение. Степени входят в ряд с пропусками, поэтому опять применяем признак Даламбера непосредственно:

при .

Степенной ряд сходится равномерно при , причем число как угодно близко к радиусу сходимости , но не равно ему. Поэтому для степенных рядов справедливы следующие утверждения.

Теорема 12.2. В области равномерной сходимости r степенной ряд (12.1) можно почленно дифференцировать любое число раз, причем радиусы сходимости получаемых рядов также равны r.

Теорема 12.3. В области равномерной сходимости r степенной ряд (12.1) можно почленно интегрировать, причём полученный ряд

сходится в той же области r.

Пример 12.5. Найти сумму ряда

, .

Решение. Обозначим сумму ряда через и продифференцируем ряд почленно:

при .

После интегрирования получим

при .

 

Контрольные вопросы.

 

1. Запишите общий вид степенного ряда.
2. Сформулируйте теорему Абеля.
3. Дайте определение радиуса сходимости степенного ряда.
4. Напишите формулу Коши-Адамара.
5. Сформулируйте теорему о почленном дифференцировании степенного ряда.
6. Сформулируйте теорему о почленном интегрировании степенного ряда.