На дом. № 4252, 4254, 4256, 4262, 4275(1 5, 8, 11), 4278(1–6).

Линейным дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида

. (6.1)

Отличительной чертой линейного уравнения является то, что искомая функция и все её производные входят в это уравнение линейно. Предполагается, что заданные функции и непрерывны в некотором промежутке .

Зaдача Коши для этого уравнения при сделанных предположениях имеет единственное решение, если принадлежит промежутку .

Если в уравнении (6.1) правая часть тождественно равна нулю, то уравнение называется линейным однородным (ЛОДУ), в противном случае – линейным неоднородным (ЛНДУ). Линейное однородное дифференциальное уравнение имеет вид:

. (6.2)

Если функции и являются решениями линейного однородного уравнения (6.2), то , где – произвольная постоянная, и сумма также являются решениями этого дифференциального уравнения.

Если функции являются решениями дифференциального уравнения (6.2), то их линейная комбинация

, (6.3)

где – произвольные постоянные, также является решением уравнения (6.2).

Функции называются линейно независимыми в промежутке , если равенство

, (6.4)

где – постоянные, имеет место только тогда, когда равны нулю все коэффициенты .

Если же равенство (6.4) имеет место на при условии, что хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то система функций – линейно зависимая.

Если функций являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения (6.2) и линейно независимы на промежутке , то общее решение уравнения (6.2) имеет вид:

, (6.5)

где – произвольные постоянные.

Система из любых n линейно независимых решений ЛОДУ (6.2) называется фундаментальной системой решений (ФСР) этого уравнения.

Если функции определены и раз дифференцируемы на промежутке , то может быть построен следующий определитель n -го порядка:

. (6.6)

Это определитель Вронского (или вронскиан) для данной системы функций. С его помощью устанавливается, является ли система решений уравнения линейно независимой. Применение вронскиана основано на следующих теоремаx.

Теорема 1. Если функции линейно зависимы, то вронскиан системы тождественно равен нулю.

Теорема 2. Если функции – линейно независимые решения, удовлетворяющие некоторому ЛОДУ n -го порядка с непрерывными коэффициентами, то вронскиан такой системы не обращается в нуль ни в одной точке промежутка .

Таким образом, чтобы проверить линейную независимость решений ЛОДУ (6.2), надо составить определитель Вронского и убедиться, что при любом значении из промежутка он не равен нулю.

 

Пример 6.1. Найти определитель Вронского для системы функций , где числа k, l, m различны. Заметим, что эти функции являются решениями такого ЛОДУ:

.

W(x) =

=

.

Это доказывает линейную независимость функций

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами n - го порядка. Общий вид уравнения:

, (6.7)

где - вещественные постоянные, .

Решение уравнения (6.7) ищем в виде экспоненты . Наводящие соображения: поскольку уравнение представляет собой тождественно равную нулю линейную комбинацию функции y и её производных, следует искать решение в виде функции, не меняющей свой вид при дифференцировании.

Подставив в уравнение (6.7), получим

.

Здесь , следовательно,

. (6.8)

Это характеристическое уравнение для (6.7); пусть – его корни. Возможны четыре случая.

1. Корни вещественные и различные. Тогда фундаментальная система решений уравнения (6.7) имеет вид: (каждому корню соответствует одна функция в ФСР), а общее решение уравнения (6.7)

, , .

2. Корни характеристического уравнения вещественные, среди них есть кратные. Пусть , а остальные корни различные. Тогда фундаментальная система решений имеет вид:

Корню кратности k соответствует k функций в ФСР, а общее решение уравнения:

где , – произвольные коэффициенты.

 

Пример 6.2. Решить уравнение .

Решение ищем в виде . Подставив в уравнение, получим характеристическое уравнение:

,

или

.

Корни – действительные, один из корней двукратный, поэтому общее решение:

.

3. Среди корней характеристического уравнения eсть комплексные однократные, например , а – действительные различные. Фундаментальная система решений в этом случае имеет вид:

(паре комлексно-сопряженных корней соответствует пара функций в ФСР), а общее решение

4. Среди корней характеристического уравнения есть комплексно-сопряженные и кратности k, а – действительные различные. В этом случае фундаментальная система решений имеет вид:

а общее решение:

 

Пример 6.3. Решить уравнение

.

Решение ищем в виде экспоненты . Подставив в уравнение, получим характеристическое уравнение:

или .

Оно имеет двукратные комплексные корни:

и .

Общее решение уравнения имеет вид: