Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

На дом. № 4155, 4156, 4159, 4160, 4163, 4169, 4189, 4208.





Дифференциальное уравнение -го порядка имеет вид

, ,

или, если оно разрешено относительно ,

. (5.1)

Здесь функция переменной определена в некоторой области ,

а D – область в

Всякая функция , определенная и раз дифференцируемая на промежутке , называется решением этого уравнения, если она обращает его в тождество при подстановке.

Задача нахождения решения уравнения (5.1), соответствующего начальным условиям

(5.2)

называется задачей Коши для уравнения (5.1) (Здесь ). Условия (5.2) называются условиями Коши или начальными условиями.

Общим решением дифференциального уравнения -го порядка (5.1) называется множество всех его решений. Оно обычно представляется формулой , содержащей n произвольных независимых между собой постоянных , , таких, что, если заданы начальные условия (5.2), то могут быть найдены все значения , при которых

будет частным решением уравнения (5.1), удовлетворяющим условиям (5.2).

В процессе интегрирования уравнения -го порядка иногда удается получить уравнение более низкого порядка, эквивалентное исходному. Такое уравнение называется промежуточным интегралом.

Рассмотрим три вида дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

1. Уравнение вида . После -кратного интегрирования получается общее решение

 

Пример 5.1. Решить уравнение .

Решение. Интегрируя последовательно данное уравнение, имеем:

.

2. Уравнение, не содержащее искомой функции и её производных до порядка включительно:

.

Порядок уравнения можно понизить на k единиц заменой

.

Уравнение примет вид:

.

Из этого уравнения определяем

, ,

а затем из уравнения

находим y k -кратным интегрированием.

 

Пример 5.2. Решить уравнение .

Решение. Полагая , получаем , откуда

, .

Последовательно интегрируя, получаем:

,

3. Уравнение не содержит независимой переменной:

.

Подстановка позволяет понизить прядок уравнения на единицу. Производные выражаются через производные функции .

,

и т.д.

Подстановка этих выражений в уравнение приводит к понижению порядка на единицу.

 

Пример 5.3. Решить уравнение .

Решение. Уравнение не содержит независимой переменной x. Полагая , , получаем уравнение

Подстановкой оно сводится к линейному уравнению

,

общее решение которого

.

После обратной замены имеем

а после разделения переменных

, .

Проинтегрировав, получаем

откуда

.

Это общий интеграл данного уравнения.

 

4209. Решить уравнение .

Решение. Интегрируя уравнение последовательно три раза, получим:

, ,

,

Это и есть общее решение исходного уравнения.

 

4163. Решить уравнение .

Решение. Уравнение не содержит искомой функции , замена переменной позволит понизить порядок уравнения и оно примет вид

или ,

откуда

.

Проинтегрировав, получим

, .

Учтем, что , и продолжим интегрирование:

и

.

Это есть общее решение.

 

4171. Решить уравнение .

Решение. Уравнение не содержит переменной . Будем считать независимой переменной, а в качестве искомой функции примем

, тогда

Подставив всё в уравнение, получим:

откуда .

После интегрирования:

и наконец,

.

Контрольные вопросы.

  1. Запишите общий вид дифференциального уравнения -го порядка.
  2. Что называется общим решением дифференциального уравнения -го порядка?
  3. Перечислите три вида дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.






Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 411. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Различие эмпиризма и рационализма Родоначальником эмпиризма стал английский философ Ф. Бэкон. Основной тезис эмпиризма гласит: в разуме нет ничего такого...

Индекс гингивита (PMA) (Schour, Massler, 1948) Для оценки тяжести гингивита (а в последующем и ре­гистрации динамики процесса) используют папиллярно-маргинально-альвеолярный индекс (РМА)...

Методика исследования периферических лимфатических узлов. Исследование периферических лимфатических узлов производится с помощью осмотра и пальпации...

Репродуктивное здоровье, как составляющая часть здоровья человека и общества   Репродуктивное здоровье – это состояние полного физического, умственного и социального благополучия при отсутствии заболеваний репродуктивной системы на всех этапах жизни человека...

Случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима...

Схема рефлекторной дуги условного слюноотделительного рефлекса При неоднократном сочетании действия предупреждающего сигнала и безусловного пищевого раздражителя формируются...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия