ВОПРОС 10

Разложение вектора по базису

Определение. Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется вектор .

Говорят, что вектор раскладывается по векторам , если является линейной комбинацией этих векторов.

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно _i, т.е. если же только при выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

Примеры линейных комбинаций векторов:

 

Векторы , , на рисунке и являются линейными комбинациями векторов , , : ) ) , , ,

Свойства линейно зависимых векторов:

1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

4. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые два линейно зависимые векторы коллинеарные.

5. Любые три компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые три линейно зависимые вектора компланарны.

6. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Справедливы следующие утверждения:

Определение. Система векторов называется базисом пространства , если векторы этой системы линейно независимы и всякий вектор из линейно выражается через векторы данной системы.

Теорема. Разложение любого вектора в базисе, если оно существует, является единственным.

Теорема. Один вектор линейно зависим тогда и только тогда, когда он нулевой.

Определение. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор, принадлежащий этой прямой.

Теорема. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара линейно независимых векторов, принадлежащих этой плоскости.

Теорема. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Определение. Три вектора являются линейно независимыми, если они не лежат в одной плоскости.

Базисом в трехмерном пространстве называется упорядоченная тройка любых линейно независимых векторов.

Если – базис в , то любой другой вектор, например , единственным образом разлагается по этому базису

,

где числа находятся единственным образом и называются координатами вектора в базисе .

Определение. Базис называется ортогональным (прямоуголь­ным), если векторы попарно перпендикулярны.

Определение. Ортогональный базис называется ортонормированным, если образующие его векторы имеют длину, равную единице.

Базис в пространстве обычно обозначают , а ортонормированный базис обозначают .

Пример. Даны векторы , , и в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Если , и – какие угодно некомпланарные векторы, то всякий вектор может быть представлен в виде , где – числа.

Такое представление вектора и называется разложением его по базису , , , а числа – коэффициенты этого разложения являются координатами вектора в базисе , , .

Векторы образуют , и базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

линейно независимы.

То есть, если определитель матрицы системы отличен от нуля:

.

Вычислим определитель:

векторы , и линейно независимые и образуют базис.

Запишем разложение вектора , в координатной форме и решим полученную систему:

,

для данного примера система имеет вид . Решаем ее методом Крамера. Уже известен определитель системы , найдем дополнительные определители и :

, ;

, ;

, .

Ответ: координаты вектора в базисе , , : .

Пример. Найти разложение вектора в базисе , , , если , , .

Решение. Вектор может быть представлен в виде (вместо можно обозначить числа ).

Запишем систему и найдем :

 

Ответ: разложение вектора в базисе , , имеет вид