Свойства. · Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.

· Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.

· Модуль векторного произведения равняется площади параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах и (см. Рисунок 1)

· Если — единичный вектор, ортогональный векторам и и выбранный так, что тройка — правая, а — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

· Если — какой-нибудь вектор, — любая плоскость, содержащая этот вектор, — единичный вектор, лежащий в плоскости и ортогональный к , — единичный вектор, ортогональный к плоскости и направленный так, что тройка векторов является правой, то для любого лежащего в плоскости вектора справедлива формула

· При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.

[править]Алгебраические свойства векторного произведения

Представление	Описание
	свойство антикоммутативности
	свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр
	свойство дистрибутивности по сложению
	тождество Якоби, выполняется в и нарушается в
	формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа
	Это частный случай мультипликативности нормы кватернионов
	значение этого выражения называют смешанным произведением векторов , , и обозначают либо

8. Смешанное произведение векторов и его свойства

9. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского