Операции наращения и дисконтирования под сложные проценты

При расчете будущей стоимости денежных средств в процессе их наращения по сложным процентам используется формула:

 

FV = PV * (1+r)n ,

(7)

где FV - величина накопления, будущая стоимость денежных средств при их наращении по сложным процентам;

PV - первоначальная стоимость денежных средств;

r - процентная ставка;

n - число периодов начисления процентов.

FM1 (r,n) = (1+r)ⁿ - мультиплицирующий множитель (коэффициент наращения).

Сумма процента I определяется по формуле:

 

I = FV – PV.

(8)

Пример. Какая сумма будет накоплена вкладчиком через 3 года, если первоначальный взнос составляет 400 р., проценты начисляются ежегодно по ставке 10%? Какова сумма процента?

FV = 400 * (1+0,1)³ = 532,4 p.

I = 532,4 – 400 = 132,4 р.

Процесс накопления в динамике:

1-й год: 400*110% = 440 р.

2-й год: 440*110% = 484 р.

3-й год: 484*110% = 532,4 р.

Таким образом, сложный процент предполагает начисление процентов не только на сумму первоначального взноса, но и на сумму процентов, накопленных к концу каждого периода. Это возможно только в случае реинвестирования суммы начисленных процентов, то есть присоединение их к инвестированному капиталу.

Периодичность накопления процентов оказывает влияние на величину накопления.

Пример. Вклад в сумме 1000 р. хранится 2 года в банке, начисляющем 24% годовых; в зависимости от способа начисления процентов накопленная сумма составит:

ежегодное начисление процента 1000*(1+0,24)²=1537,6 р.

полугодовое начисление процента 1000*(1+0,12)⁴=1573,5 р.

ежеквартальное начисление процента 1000*(1+0,06)⁸=1593,8 р.

ежемесячное начисление процента 1000*(1+0,02)²⁴=1608,1 р.

Следовательно, чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма.

Для определения периода, необходимого для удвоения первоначального вклада, используется «правило 72-х». Оно дает наиболее точные результаты, если процентная ставка находится в интервале 3-18%.