Основные уравнения механики жидкости и газа

На частицу газа в потоке действуют поверхностные, массовые силы и силы инерции. К поверхностным относятся силы давления и силы трения, к массовым – сила тяжести, силы магнитного и электрического взаимодействия.

 

1. Уравнение движения

Согласно принципу Даламбера, сила инерции равна и противоположно направлена сумме всех сил, действующих на частицу газа:

, (3.3)

где – сила инерции; – сумма внешних сил (массовых и поверхностных ).

В механике сплошных сред сила инерции, отнесенная к единице массы частицы газа, Н/кг:

. (3.4)

При течении газа в проточной части турбокомпрессора массовые силы (сила тяжести) незначительны по сравнению с силами трения и силами давления

. (3.5)

Сила давления

, (3.6)

где – градиент давления ( – единичные векторы положительных направлений осей z, r, u.

Сила трения представляет собой дивергенцию тензора скоростей деформации

, (3.7)

где – для оси r; – для оси z; – для оси u; – коэффициент кинематической вязкости, м²/с; μ; – коэффициент динамической вязкости, Па·с.

Из уравнений (3.3), (3.6) и (3.7) можно получить основное уравнение движение вязкого газа – уравнение Навье-Стокса. Запишем его в проекциях на оси координат, используя форму математической записи через оператор Гамильтона [3]:

, (3.8)

где ( – оператор Гамильтона, D= ²= · – оператор Лапласа).

Стоящие в левой части уравнения (3.8) силы инерции в проекциях на оси координат расписываются через частные производные

,

,

.

Для идеального газа (без учета вязкости) уравнения Навье-Стокса (3.8) преобразуются к уравнениям Эйлера:

. (3.9)

В проекциях на оси:

. (3.10)

Неизвестными в уравнениях Навье-Стокса и Эйлера являются 5 величин: проекции абсолютной скорости C_r, C_u, C_z, давление Р и плотность ρ;.

 

2. Уравнение неразрывности (сохранения массового расхода):

, (3.11)

где

В случае стационарного потока , тогда

=0.

В случае одномерного потока для струйки тока

.

Для ступени турбокомпрессора

.

 

3. Уравнение энергии:

. (3.12)

 

4. Уравнение состояния:

– идеального газа

; (3.13)

– реального газа

.

 

Система уравнений (3.8), (3.11), (3.12), (3.13) включает в себя 6 уравнений с шестью неизвестными. Кроме С_r, C_u, C_z, P, ρ;, уравнение состояния вносит шестую неизвестную – температуру Т. Если учитывать теплообмен с окружающей средой, то появляется седьмое неизвестное – количество подведенной (отведенной) теплоты q_вн. Дополнительный уравнением будет условие теплообмена с окружающей средой, описываемое уравнением Ньютона:

, (3.14)

где α; – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²·К); Т_окр – температура окружающей среды, К; F – площадь поверхности теплообмена, м².

Таким образом, система уравнений получается замкнутой. И сформулировав граничные (а в случае нестационарного движения и начальные) условия теоретически эта система может быть решена. Однако в настоящее время отсутствует возможность интегрирования уравнений Навье-Стокса, Эйлера и Рейнольдса [3] в полной форме. На практике идут на различные упрощения: считают процесс стационарным, переходят к двух и одномерным моделям течения, не учитывают вязкость. Обоснованность этих допущений должна быть оговорена для каждой конкретной задачи и опираться на опытные данные.