Теорема Жуковского

 

Теорема Жуковского определяет аэродинамическую силу реакции потока на профиль через циркуляцию вокруг профиля.

Взаимодействие потока с профилем вызывает появление аэродинамической силы Р, действующей со стороны потока на профиль, равная ей сила и направленная противоположно – сила реакции профиля Р ′ (рис. 4.13) [6].

Рис. 4.13. Схема к выводу теоремы Жуковского

 

 

Для определения аэродинамической силы, действующей на профиль, можно воспользоваться результатами теории решеток профилей, основы которой положены Н.Е. Жуковским и С.А. Чаплыгиным. При этом достаточно знать значения средних по шагу скоростей до и после решетки.

Проведем вокруг выбранного профиля замкнутый контур (рис. 4.13) так, чтобы расстояние между сторонами bc и ad было равно шагу решетки t и грани dc и ab вынесены настолько далеко от профиля, что скорость и давление не изменяются по шагу решетки (; ).

Определим циркуляцию вокруг контура abcda:

,

т.к. ab = dc = t, то , тогда

.

Воспользуемся теоремой об изменении количества движения, согласно которой производная по времени от количества движения равна сумме всех сил, действующих на газ:

. (4.5)

Рассмотрим элемент газа, массой m, соответствующий отрезку ab и перемещающийся за время dτ; в положение cd. Проинтегрируем уравнение (4.5)
и запишем его в проекциях на оси u и z. При этом учтем, что массовый расход газа .

Проекция на ось u:

,

массовый расход газа можно представить как

,

где – площадь сечения; ∆ r = 1 – высота сечения,

тогда

. (4.6)

Проекция на ось z:

.

Перепад давлений (P ₁- P ₂) определим из уравнения Бернулли

,

,

,

т.к. и , то ,

тогда

. (4.7)

Согласно 3-му закону Ньютона (рис. 4.13) и , тогда полная аэродинамическая сила

. (4.8)

Подставив (4.6) и (4.7) в (4.8), получим

,

.

Введем понятие вектора средней скорости (рис. 4.14)

, ,

.

Считая как было принято ранее , введя , получим

. (4.9)

Уравнение (4.9) является математическим выражением теоремы Жуковского, согласно которой полная аэродинамическая сила действующая со стороны потока на профиль (подъемная сила) равна произведению плотности газа на среднюю скорость и циркуляцию вокруг профиля.

Направление аэродинамической силы Р определяется поворотом вектора на 90º против направления циркуляции (Г >0).

Определим влияние вязкости газа на величину аэродинамической силы. Обозначим: Р – подъемная сила в случае идеального газа; R – подъемная сила с учетом вязкости (рис. 4.15).

Рис. 4.14. К определению вектора Wср	Рис. 4.15. Подъемная сила в идеальном Р и вязком газе R

 

Проекции подъемной силы на ось u как в случае идеального газа, так и в случае вязкого – одинаковы

. (4.10)

Проекции подъемной силы на ось z будут различными для идеального и вязкого газа , т.к. уравнение Бернулли для вязкого газа включает потери на трение:

, (4.11)

где h_w – потери энергии на трение, Дж/кг.

Из (4.11) перепад давлений

. (4.12)

Используя для определения R_z уравнение (4.7), подставим в него перепад давлений из (4.12), получим

, (4.13)

где .

Величины P_z и R_z отрицательные (P_z <0 и R_z <0), т.к. направлены против оси z (рис. 4.15). Отсюда следует, что , а т.к. , то по абсолютной величине

.

Таким образом, в случае обтекания профиля вязким газом в уравнение Бернулли добавляются потери на трение. Это приводит к уменьшению разности давлений (P ₁- P ₂) и снижению силы R_z по сравнению с силой P_z. Физически это обусловлено наличием силы лобового сопротивления R_w (рис. 4.15).

Практическое приложение изложенных в данном разделе 4.6 теоретических основ газовой динамики к компрессорным машинам динамического действия заключается в том, что зная величину подъемной силы, можно определить подводимую к рабочему колесу мощность.

Известно, что мощность на валу связана с крутящим моментом. Тогда для каждой точки вдоль радиуса лопатки r справедливо равенство (рис. 4.16)

.

Для рабочего колеса в целом следует взять интеграл

,

т.к. (рис. 4.16 б) и , тогда

,

Далее, считая что и , получим

. (4.14)

 

Рис. 4.16. К определению мощности подводимой к рабочему колесу:
а) рабочее колесо осевого компрессора; б) совмещенный треугольник скоростей

 

 

Таким образом, для определения затрат работы на сжатие газа в ступени компрессора можно воспользоваться теоремой Жуковского, если возможно рассчитать циркуляцию вокруг профиля по реальному распределению скоростей, что является достаточно сложной задачей, решение которой в настоящее время возможно лишь при ряде упрощающих допущений.