Вопрос 2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим сначала случай, когда материальная точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, имеющих одну частоту. Проблема заключается в определении траектории точки, которую мы будем в этом случае наблюдать.

Пусть одно колебание происходит по оси ОХ, другое – по OY.

 

Понятно, что точка описывает плоскую траекторию и уравнения и можно рассматривать как уравнение этой траектории в параметрической форме. Нетрудно видеть, что это - уравнение эллипса, вписанного в прямоугольник со сторонами . Ориентация главных осей эллипса зависит от сдвига фаз . На рисунке показаны частные случаи таких эллипсов:

 

 

 

Нетрудно показать, то при сдвиге фаз эллипс вырождается в прямую на рисунке б):

 

Мы будем видеть колебательное движение точки вдоль прямой, проходящей через начало координат, с амплитудой .

При получаем траекторию на рисунке в):

 

Траекторией будет эллипс, у которого главные оси совпадают с осями координат так, как показано на рисунке г), если

 

 

Покажем это

 

Разделив обе части каждого уравнения на А и В соответственно, получаем

 

Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим почленно:

 

 

Сдвиг по фазе определит в этом случае направление движения точки. Оно будет происходить по часовой стрелке, если , и против часовой стрелки, если

.

Если амплитуды колебаний по осям ОХ и OY будут равны А = В, то эллипс преобразуется в окружность радиуса А = В:

Важно заметить, что любое равномерное движение по окружности радиуса А с угловой скоростью может быть разложено на два взаимно перпендикулярных гармонических колебания с частотой .

Движение по эллипсу тоже может быть разложено на два взаимно перпендикулярных колебания.

Более сложной получается траектория точки, совершающей колебания во взаимно перпендикулярных направлениях, если частоты колебаний не равны. В частности, если частоты относятся как целые числа, траектория оказывается замкнутой линией. Такая траектория называются фигурой Лиссажу. Ниже приведены примеры фигур Лиссажу для некоторых значений и .