Анализ решений арифметических задач детьми, овладевшими формулой сложения и вычитания

В особых условиях обучения испытуемые овладели следующими операциями: 1) словесную форму арифметического выражения («к одному прибавить один — получится два» и т. п.) они переводили в письменную форму, составляя нужные знаковые выражения из карточек с написанными на них математическими значками; 2) правильно прочитывали составленное из значков выражение; 3) дополняли формулу последним числом, например: в выражение 3—1 =они подставляли карточку с цифрой 2.

Анализ условий обучения и особенностей усвоения арифметического знакового выражения проводится нами в другой работе. Поэтому здесь мы опускаем описание экспериментальных поисков и результатов, которые относятся к плану усвоения. Заметим только, что у детей дошкольного возраста овладение указанными операциями с арифметической формулой (в пределах 4—5 арифметических выражений), как показали наши исследования, возможно вне какой-либо связи с предметным счетом.

Теперь испытуемые должны были использовать арифметическую формулу при решении задач. При введении арифметических задач мы последовательно проверяем различные приемы обучения, причем это различие касается структуры задаваемого в обучении содержания.

А. Прежде всего мы применили обучение (1 серия), соответ-

­ Конец страницы 339 ­

¯ Начало страницы 340 ¯

ствующее принятому и предлагаемому в методиках. Особенность его в том, что использование арифметических действий демонстрируется на конкретных задачах и помимо арифметических действий, дети не получают никаких других специальных средств, которые вошли бы в способ решения задачи. Подобный метод обучения описывается, например,, А. М. Леушиной [6]. Ребенку предлагается задача: «У мальчика было 2 карандаша. Мама купила ему еще 1 карандаш. Сколько карандашей стало у мальчика?» Экспериментатор выкладывает две соответствующие группы предметов (например, палочек). Потом он убирает эти предметы и говорит детям, что нужно поставить цифры, чтобы не забыть, сколько было предметов. Выкладывает соответствующие цифры, объясняет: «Было два, дй один еще прибавили, стало больше карандашей; значит, нужно к двум прибавить один» — между цифрами ставится значок «+». Составляется выражение 2 + 1 =, и испытуемый должен был подставить ответ и указать значение полученного числа (например, на вопрос экспериментатора: «Три — это что?» — испытуемый отвечает: «Три карандаша у мальчика стало». Это повторяется при решении разных конкретных задач с применением сложения и вычитания.

Затем дети должны были решить аналогичные задачи самостоятельно. В этой серии обучения, помимо указанных выше было занято еще три ребенка (от 4 лет 6 мес. до 4 лет 8 мес.), которые умели правильно пересчитать две совокупности предметов.

По результатам обучения испытуемых можно разделить на две группы.

Первая группа. В нее вошли два мальчика — 4 г. 7 мес. и 4 г. 8 мес. Опишем особенности их действий.

1. Дети легко переходят к замещению предметных множеств числом, выкладывают цифры под соответствующие группы предметов. Могут правильно выбрать и положить карточки с цифрами и в том случае, когда экспериментатор сначала выкладывает перед ними совокупности предметов, называет их числовые характеристики, а потом убирает предметы. Можно сказать, таким образом, что дети усвоили операцию замещения в процессе обучения, когда цифровые знаки давались как средство для запоминания количественных характеристик данных совокупностей.

Особенность сложившихся при этом у детей операций замещения состоит в том, что эти операции несут в ce6е

­ Конец страницы 340 ­

¯ Начало страницы 341 ¯

признаки изоморфизма предметной и знаковой ситуации. Типичным будет здесь соответствие пространственного расположения цифр положению замещаемых ими предметных групп. Если мы меняем местами группы, дети, соответственно, переставляют и цифры.

2. Выложив цифры, испытуемые ставят между ними знак «+» или «—», ставят знак «=» и правильно подставляют цифру ответа. Они используют при этом ту форму знакового выражения, которая была усвоена ими до этого. Так, например, Гриша П. (4 г. 8 мес.) действовал следующим образом: заменив заданные множества цифрами и подставив остальные знаки, он получает выражение 1 + 2 =, которое затем прочитывает, восклицает удивленно «ой» и переставляет цифры: 2 + 1 = (такая форма знакового выражения была усвоена им раньше), после этого подставляет в формулу цифру 3.

Дети воспроизводят даже внешние признаки действий, сопровождавших усвоение формулы. Так, Гриша П. располагает знаки так, как показано на схеме 22, и приговаривает: «Домики построил». Так всегда он действовал и раньше, в условиях обучения знаковой формуле.

Итак, дети этой группы при решении арифметической задачи начинают использовать форму знакового выражения, усвоенную ими в предыдущем обучении, воспроизводя как обширную структуру этого выражения, так и те внешние приемы, которые были введены, чтобы обеспечить ее усвоение.

 

 

3. Составляя знаковое выражение при решении задачи, дети не могут правильно выбрать знак «+» или «—», делают это большей частью наугад. После многократного решения задачи с подсказками со стороны экспериментатора испытуемые начинают правильно выбирать эти знаки, но только в том случае, если до этого они решали с экспериментатором задачу с аналогичными условиями. Во всех же других случаях (например, раньше говорилось, что мальчику подарили еще 2 карандаша, а теперь задача о том, что девочке дали еще

­ Конец страницы 341 ­

¯ Начало страницы 342 ¯

1 яблоко) даже после десяти занятий испытуемые продолжали выбирать знаки «+» и «—» наугад либо воспроизводили знаки, используемые в предыдущей задаче.

4. В случае, когда экспериментатор не прячет предметы или убирает их так, что их можно увидеть, дети не составляют знаковой формулы, а пересчитывают предметы.

Итак, испытуемые этой группы в условиях, когда они не могут использовать предметный пересчет, прибегают после проведенного с ними обучения к использованию элементов знаковых выражений сложения и вычитания. Однако формула в целом не используется ими полноценно: умея правильно заместить предметные множества числом, они дополняют формулу остальными знаками безотносительно к условиям задачи. Значение знаков «+» и «—» остается для них не раскрытым. В результате данного обучения они усвоили лишь то, что в данных условиях нужно составить формулу. При этом, по-видимому, недостаточно расчлененными оказываются для детей, с одной стороны, специфические структурные особенности данного знакового выражения и, с другой стороны, те внешние приемы (например, игровые), которые вводились при его усвоении. Используя знаковое выражение сложения и вычитания при решении задачи, эти дети берут формулу вместе с теми обрамляющими ее и неспецифическими для ее использования приемами, которые искусственно вводились в ситуации усвоения знакового выражения. И в то же время специфические элементы ее структуры, знаки «+» и «—» дети применяли безотносительно к условиям задачи.

Итак, результаты данной экспериментальной серии, при которой использованию арифметических действий дети обучались на конкретных примерах арифметических задач, можно суммировать следующим образом:

дети усваивали операции замещения предметных множеств цифровыми знаками как средство для их запоминания;

они усваивали операцию введения этих цифровых знаков в арифметическую формулу; при выполнении этой операции (составлении арифметической формулы) условия задачи детерминировали только вводимые в нее цифровые знаки, все остальные элементы формулы определялись полностью ситуацией предшествующего обучения, при котором происходило усвоение арифметического знакового выражения, и не соотносились с условиями задачи; данное обучение и не обеспечивало, следовательно, выбор арифметического знака

­ Конец страницы 342 ­

¯ Начало страницы 343 ¯

(«+» или «—») в соответствии с условиями задачи.

Б. Цель 11 серии обучения, проведенной прежде всего с испытуемыми описанной выше группы (первая группа), заключалась в том, чтобы ввести в ситуацию обучения такие компоненты, которые обеспечивали бы правильный выбор арифметического знака при решении задач.

Мы видели, что от конкретного текста условий дети не могли перейти к использованию нужного арифметического знака.

Следовательно, искомое средство должно: а) быть обобщенным, т. е. таким, которое может быть применено при различных конкретных задачах; б) так относиться к конкретному тексту условий, чтобы был возможен однозначный переход от данного средства к арифметическому знаку.

Мы предположили, что по своему содержанию средство, обеспечивающее выбор арифметического знака, должно выделять в обобщенной форме (моделировать) отношение совокупностей, заданное в конкретных условиях задачи. В работах Г. П. Щедровицкого и С. Г. Якобсон было показано, что при решении задач способом предметного моделирования и счета средством, позволяющим перейти от текста условий к счету, было действие с моделью «целое — части» (см. [16, 17, 20а]).

Отношение «целое — части» и отношение равенства могут рассматриваться как выражающие определенные отношения совокупностей объектов. Поэтому естественно было предположить, что именно эти отношения являются теми средствами, которые мы ищем. Однако вначале мы отказались от плана исследования, диктуемого этим предположением. Ведь структура и содержание отношений «целое — части» и «равенство» еще недостаточно раскрыты. Также пока неизвестно, какая сторона этих отношений необходима для арифметического действия и в какой форме они должны быть для этого представлены. Вот почему мы начинаем наш анализ не с этих, уже сложившихся образований, а с тех моделей, которые создаем искусственно в нашем эксперименте, задавая этим моделям однозначную функцию и значение. Лишь выявив возможности и ограниченность этой модели, т. е. получив таким образом некоторые необходимые расчленения, можно будет перейти к исследованию сложившихся средств (в их отношении к арифметическому действию).

Учитывая изложенные выше требования к средству, мы

­ Конец страницы 343 ­

¯ Начало страницы 344 ¯

проводим следующее обучение.

Перед ребенком на столике лежит несколько палочек и над ними две перевернутые коробочки, положенные дном вверх (схема 23).

 

 

Дети выполняют следующие задания: а) положи из кучки в одну коробочку 2 палочки, а в другую коробочку 1 палочку. Нужно узнать, сколько палочек в этих двух коробочках; б) положи из кучки в одну коробочку 3 палочки, а потом переложи из нее в другую 1 палочку. Сколько палочек останется в этой коробочке? Выкладываются цифры, соответствующие заданным в условиях множествам. Одновременно дается общее правило: если из кучки кладем в одну коробочку и в другую, нужно ставить знак «+» («прибавить»); если из кучки кладем в одну коробочку, а потом из этой коробочки перекладываем в другую, ставим знак «—» («отнять»).

После того как дети воспроизводили это правило и могли выполнить описанные выше два задания, мы вводили задачи с конкретными условиями. Способ использования общего правила показывался экспериментатором на примере решения конкретных задач.

Испытуемые первой группы при таком обучении уже со второго занятия стали решать арифметические задачи, правильно выбирая знаки «+» и «—», воспроизводя способ, описанный нами выше. На третьем занятии оказалось возможным убрать предметы и коробочки, дети ставили только цифры, но они сами теперь изображали отношение между совокупностями, показывая пальцем на столе направление их перемещения либо из кучки в коробочки, либо же из кучки сначала в одну коробочку, а потом из нее в другую, и после этого выбирали знак и получали числовой ответ.

Итак, результаты 1 и 11 серий обучения у этой группы детей

­ Конец страницы 344 ­

¯ Начало страницы 345 ¯

показывали, во-первых, что разные элементы формулы сложения и вычитания чисел разнородны по своей природе (введение замещения числом и замещения знаками «4-» и «—» потребовало совершенно разных средств ¹) и, во-вторых, что способ выбора знаков «+» и «—» вводится не на уровне конкретных предметных действий, описанных в тексте задачи, а в плоскости действий с моделями, позволяющими выделить обобщенные отношения совокупностей.

Вторая группа. Сюда вошло 6 испытуемых: четыре ребенка из основной серии обучения и двое из дополнительной (дети, правильно пересчитывающие две совокупности предметов), от 4 лет 3 мес. до 4 лет 6 мес.

Опишем результаты обучения этих детей в 1 и 11 сериях обучающих экспериментов.

После 1 серии обучения дети данной группы вообще не использовали арифметические операции. Этих испытуемых по особенностям их действий можно разделить на две подгруппы. Дети первой подгруппы (в нее вошло четверо испытуемых) замещали заданные множества числами, но формулу сложения и вычитания не составляли и не использовали ее при решении задачи. Процесс решения осуществлялся следующим образом:

1. Дети решают задачу, используя поединичный пересчет предметов; если экспериментатор убирает предметы, испытуемые пересчитывают их на пальцах.

2. Получив число ответа, они не выбирают сами и не используют соответствующую цифру для составления формулы.

3. Выбрав нужную цифру по указанию экспериментатора, дети не составляют знаковое выражение в целом (не ставят знаки «+», «—» или «=»).

Таким образом, испытуемые первой подгруппы после 1 серии обучения вообще не используют арифметические операции.

В отличие от них испытуемые второй подгруппы обращаются к усвоенной ранее арифметической формуле. Однако, во-первых, в действие включается не формула вце-

___________

¹Мы ни в коем случае не имеем в виду, что в данных сериях экспериментов выделены и содержание, и способы числового замещение В данных условиях мы брали такое замещение, как уже имеющееся У ребенка (или вводимое чисто формально в данном эксперименте) и могли только констатировать, что в любом случае условий, при которых «работает» (в пределах определенных требований) чижовое замещеяие, оказывается недостаточно для замещения, знаком «+» или «—»

­ Конец страницы 345 ­

¯ Начало страницы 346 ¯

лом, а лишь отдельные ее фрагменты, и, во-вторых, операции с фрагментами арифметической формулы соответствуют структуре не арифметических (знаковых), а предметных операций. Дети как бы уподобляют операции с фрагментами арифметической формулы предметным операциям. Вот некоторые примеры:

1. Вместо цифры 3 испытуемый ставит три таблички с цифрами 3, 4, 1, а затем 1, 2, 3.

2. Составив знаковое выражение 2 + 1 =, испытуемый пересчитывает карточки, на которых написаны цифры 1, 2, 3 и дополняет формулу карточкой с цифрой 4.

3. Число знаков в формуле дети уподобляют числу элементов предметной плоскости; составляя знаковое выражение, они включают в него либо только цифры, либо только знаки «+» или «—», в этом случае убирая цифры. Знак «=» детьми вообще не используется.

4. Испытуемые смешивают предметный и числовой план действий. Например, решая задачу: «На одном дереве сидели 2 птички, потом прилетела еще птичка...»,— девочка повторяет условие: «На дереве сидели две птички» — и ставит табличку с цифрой 2, «прилетела еще одна» — ставит рядом с цифрой еще палочку.

Итак, испытуемые второй группы после проведенного обучения либо вообще не обращались к составлению знакового выражения сложения и вычитания и решали задачу путем предметного пересчета (первая подгруппа), либо использовали отдельные элементы знаковой формулы, но действия с ними уподобляли действиям с предметами, что приводило в результате к полному смещению знаковой и предметной плоскостей (вторая подгруппа).

А вот как действовали дети данной группы после обучения во II серии (при моделировании отношения совокупностей);

1. Положив нужное количество предметов под коробочки, испытуемые почти во всех случаях как бы забывают выложить соответствующие числа. Экспериментатору приходится каждый раз напоминать детям: «Положи цифру».

2. Восстановив цифры, они не могут составить формулу сложения или вычитания, правильно выбрать знак «+» или ««—». Дети безошибочно воспроизводят общее правило: если из кучки положили в одну коробочку и в другую, нужно ставить знак «прибавить»; если из кучки положили в другую— знак отнять»¹. Они выполняют задание — положи в одну коробочку столько-то палочек, а в другую столько-то, переложи

­ Конец страницы 346 ­

¯ Начало страницы 347 ¯

в другую столько-то — и правильно описывают словесно выполненное ими действие. Но, поставив цифры, ответить, какой нужно выбрать знак, они не могут. Экспериментатору приходится каждый раз заново спрашивать: «Что ты сделал?» или: «Куда ты положил палочки?» Испытуемые описывают действие и только после этого, отвечая на вопрос экспериментатора: «Значит, какой знак нужен?»— правильно отвечают ни выбирают знак «+» или «—». Таким образом, когда дети действуют с числами, замещая ими заданные множества, они не могут использовать отношения, определяющие выбор знака. Нужно снова вернуть детей к действию с отношениями совокупностей, и только тогда они правильно выбирают знак.

3. Однако и после этого дети не составляют формулу сложения и вычитания с данными числами. Типичным для них является такое поведение: выбрав табличку со знаком, они кладут ее в сторону, отдельно от выложенных до этого цифр. При указании экспериментатора: «Поставь сюда значок», — они просто приставляют его к цифрам справа или слева от них. И хотя экспериментатор до этого показывал правильный способ действия и теперь каждый раз, исправляя ошибку ребенка, показывает, как нужно составить формулу, дети при выполнении следующего задания по-прежнему не могут этого сделать и продолжают неправильно ставить знаки «+» и «—», а также пропускают знак «=».

4. Составив с помощью экспериментатора выражение, например: 3 + 1 =… испытуемые не могут подставить правильно последнее число, хотя раньше, после усвоения формы знакового выражения, дети это делали. Да и теперь, если им предлагают знаковое выражение, данное безотносительно к условиям задачи, дети могут правильно дополнить его, подставляя последнее число.

Характерно, что, в отличие от детей первой группы, они не прибегают к тем способам и приемам, которые использовались при действии с формальным выражением. Форма знакового выражения, данная им раньше, и та формула, которую они должны составить при решении арифметический задачи, оказываются не связанными друг с другом; усвоенная ранее форма знакового выражения не «срабатывает» при решении арифметической задачи.

4а. В дополнительной серии опытов двум мальчикам 4 лет

___________

¹ Младшие дети называли эти знаки так «+» — «крестик», «—» — «палочка

­ Конец страницы 347 ­

¯ Начало страницы 348 ¯

6 мес. и 4 лет 7 мес., у которых не отрабатывалась форма знакового выражения до решения арифметических задач, требование составить формулу давалось в процессе этого решения. Для них был введен и еще один новый момент: составив формулу, для того чтобы получить число ответа, они должны были обратиться к табличке, на которой было выписано несколько числовых формул сложения и вычитания, найти там нужную формулу и дополнить составленное выражение последним числом. И здесь так же, как и в предыдущих случаях, если формула давалась вне арифметической задачи, дети обращались к табличке и, используя ее, дополняли формулу. Решая же арифметическую задачу, они, как правило, не дополняли числовую формулу, сами не обращались к табличке, экспериментатору каждый раз приходилось указывать: «Найди в табличке такую же строчку, посмотри, какое нужно число». Даже после того, как дети находили формулу в таблице и прочитывали ее, они в большинстве случаев не могли вернуться сами к составленному выражению и не дополняли его соответствующим числом. Экспериментатор снова должен был специально побуждать детей выполнять это действие.

5. И даже в тех случаях, когда детям удавалось, в конце концов составить целостную арифметическую формулу, они не могли в ответ на просьбу экспериментатора: «Покажи, где столько-то предметов», — правильно указать совокупность (или обе совокупности), к которой относится полученное число. В то же время при описании условий задачи без чисел — до составления числовой формулы — они правильно могли показать, например, где карандаши мальчика, где карандаши девочки, карандаши мальчика и девочки.

Полученные факты интерпретируются довольно однозначно. Особенность действий испытуемых на всех описанных выше этапах решения в Общей форме заключалась в следующем: дети осуществляли операции с отдельными разными группами объектов или средств, но не могли соотнести, связать друг с другом эти разные операции, точнее, разные плоскости действия. Просмотрим описанные выше факты в том же порядке, как они были приведены с точки зрения такого их толкования:

а) действуя с моделями (коробочками), испытуемые не выполняют числового замещения, и наоборот,

б) при обращении к числам дети не могут использовать данные модели;

­ Конец страницы 348 ­

¯ Начало страницы 349 ¯

в) знаки числа и арифметические знаки «+», «—», «=» они не связывают в одной операции (дети не составляют арифметическую формулу);

г) операция дополнения арифметического выражения последним числом (усвоенная детьми раньше) не включается ими в процесс решения задачи;

д) испытуемые не соотносят полученный результат арифметического действия с конкретной предметной или моделированной ситуацией, описанной в условиях задачи.

Таким образом, в результате II серии обучения испытуемые второй группы овладели операциями, относящимися к различным плоскостям (схема 24).

 

 

Однако дети не могли соотносить между собой операции и действия из разных плоскостей.

Действуя в плоскости II, испытуемые не могли включать в формулу знаки «+» и «—» (т. е. соотнести плоскости II и III). Находясь же в плоскости III, они не относили правильно выбранный арифметический знак к числам, замещающим совокупности (особенно показательны здесь те случаи, когда дети выкладывали знаки «+» и «—» в стороне от число-•вых знаков). Наконец, результаты операций с арифметичес-

­ Конец страницы 349 ­

¯ Начало страницы 350 ¯

кой формулой (плоскость IV) испытуемые не могли соотнести с ответами, полученными в любой другой плоскости.

Как видно из схемы 24, разрыв связи разных плоскостей действий происходит на уровне III плоскости: III плоскость (моделирование отношения совокупности и выбор арифметического знака) оказывается не связанной с плоскостями I и II, поэтому не обеспечивает перехода от конкретных ^ условий задачи к арифметической формуле.

В следующей серии экспериментов (III серия) мы должны были проверить, допустима ли сделанная нами интерпретация результатов, полученных в предыдущих экспериментах, можно ли действительно объяснить описанные выше особенности процессов решения разрывом между плоскостями действий и, прежде всего, отсутствием связи плоскости промоделированных отношений совокупностей с плоскостью конкретных условий задачи.

С этой целью мы применяли несколько вариантов обучения, в которых использовались модели, отличающиеся разной «степенью отвлеченности» (пояснение этого выражения будет дано ниже). Сравнивая особенности действий детей в условиях разных вариантов, мы выявляли зависимость этих особенностей от характера моделей.

Первый вариант обучения полностью совпадал с обучением, проведенным ранее (II серия). Дети выполняли действие с коробочками и некоторым количеством палочек. При этом выделялись два типа отношений, показанные на схеме 25.

 

­ Конец страницы 350 ­

¯ Начало страницы 351 ¯

При втором варианте обучения в качестве моделей были использованы три листка бумаги: один большой листок и над ним два другие — так, как это показано на схеме 26 (условия задачи всегда даются такого типа: «В большую тарелку положили 5 яблок, в маленькую 3»; «Прилетело 5 птичек на большое дерево, потом 2 перелетели на маленькое» и т. д.).

Эти действия изображались посредством жестов (схема 27).

 

 

Модели в третьем варианте обучения были представлены одним большим и двумя одинакового размера маленькими листами (или коробочками) (схема 28).

Испытуемым предлагались задачи того же типа, что и при первом варианте. Однако здесь они не производили реального действия перекладывания предметов в коробочки (как это было при первом варианте обучения), а лишь показывали направление этого действия жестом.

Если использовать выражение «степень отвлеченности», применяемые в этих трех вариантах обучения модели можно оценить следующим образом: наибольшая степень отвлечения — в третьем варианте, наименьшая — во втором (здесь сами модельные объекты изоморфны конкретным объектам условий). Модели первого варианта (II серия обучения) представляют собой объективно довольно сложную структуру, объекты здесь, в отличие от моделей второго варианта, не изоморфны по содержательным признакам объектам конкретных условий, и, в то же время, в операции с этими моделями включены операции с предметной совокупностью

­ Конец страницы 351 ­

¯ Начало страницы 352 ¯

(цалочки), моделирующей множества, заданные в конкретных условиях.

Итак, плоскость моделей при третьем варианте объективно не связана с плоскостью конкретных условий задачи. В моделях первого и второго вариантов такая связь имеет место: при втором варианте это связь с данным содержанием конкретного предметного действия (столько-то положили на маленькую, столько-то на большую...; с большого дерева перелетели на маленькое); при первом варианте плоскость моделей связана с количественной стороной условий задачи.

Посмотрим теперь, как действовали дети после обучения в каждом из этих вариантов.

Особенности действий детей после первого варианта обучения: подмена арифметической операции поединичным пересчетом; уподобление операций со знаками-числами операциям с совокупностью предметов; смещение этих двух плоскостей операции ¹.

Например, Гена 3. (4 г. З мес.) изображает описанное в тексте преобразование ситуации (птички с большого дерева перелетели на маленькое) так, как показано на схеме 29. «Птички перелетели сюда, потом сюда, а потом сюда» (стрелки с цифрами обозначают направление и последовательность его жестов).

 

 

_________________

¹ Примеры всех этих действий были приведены выше при описании результатов II серии обучения

­ Конец страницы 352 ­

¯ Начало страницы 353 ¯

Особенности действий детей после третьего варианта обучения: смещения объектов и операций из плоскости моделей с объектами и операциями из других плоскостей не обнаруживалось; все дети правильно изображали на моделях отношения совокупностей и выбирали арифметический знак. Однако, именно здесь в наиболее резкой форме у всех, без исключения, испытуемых появлялся разрыв плоскости моделей и арифметического знака, с одной стороны, и плоскости чисел — с другой. Знак «+» или «—» не включался в числовое выражение. Дети не могли составить арифметическую формулу.

Данные материалы подтверждают правильность нашей интерпретации результатов основной серии экспериментов (II серии обучения). При обучении по трем вариантам эти результаты были усилены и расчленены. Такое усиление и расчленение их непосредственно зависело от наличия или отсутствия связи между плоскостью моделей и плоскостью конкретных условий задачи и от характера этой связи.

Таким образом, эти результаты подтверждают правильность нашего объяснения полученных материалов, а также дают возможность некоторого его уточнения.

Проведенное обучение, при котором в способ включается искусственно построенное нами средство, моделирующее отношение совокупностей, создает следующие возможности и ограничения:

1) данное средство обеспечивает правильный выбор арифметического знака («+» или «—»);

2) однако оно оказывается не соотнесенным с плоскостью условий задачи (ни в их содержательном, ни в их числовом значении). Поэтому данное средство не обеспечивает перехода от конкретных условий задачи к арифметической формуле. Знаки «+» и «—» оказываются не соотнесенными ни с конкретной плоскостью предметных действий, ни с числами, замещающими предметные совокупности;

3) переработка этих искусственных моделей в направлении создания объективных связей с плоскостью условий задачи (2-й и 3-й варианты обучения) не сделала их действительным средством перехода от конкретных условий к арифметическому действию. Введение указанных объектных связей между данными плоскостями привело лишь к смешению операций и объектов разных плоскостей.

В четвергом варианте обучения мы ввели приемы, задающие внешнюю связь между объектами модельной и число-

­ Конец страницы 353 ­

¯ Начало страницы 354 ¯

вой плоскости.

Мы попробовали писать цифры на бумажках-моделях (выкладывание табличек с цифрами также оставалось) (см. схему 30).

 

 

При таком обучении, которое было проведено с четырьмя испытуемыми (второй группы), получены следующие результаты.

Один из испытуемых продолжал действовать так же, как и до обучения: знак выбирал правильно, но не составлял знаковое выражение сложения и вычитания, но стоило нам заменить бумажки-модели с цифрами бумажками без цифр, как двое из них сразу, а один через некоторое время (на следующий день) вернулись к прежнему способу. Используя бумажки-модели, дети часто допускали следующую ошибку: они ставили знаки «+» и «—» между самими моделями.

Таким образом, при введении внешней связи между моделями (обусловливающими выбор арифметического знака) и числами мы не получили связи чисел и арифметических знаков в целостной формуле, при этом возникало смешение объектов операций модельной и числовой плоскостей.

Общее резюме и задачи дальнейшего анализа. Проведенный анализ позволяет сформулировать ряд конкретно-содержательных требований к изучаемому нами способу решения арифметических задач.

1. Этот способ не может быть ограничен только одним средством — арифметическими операциями. В него должны быть включены еще какие-то другие средства.

2. Так как знаковые арифметические операции являются специфическим средством решения арифметических задач, то остальные входящие в способ средства существуют в нем

­ Конец страницы 354 ­

¯ Начало страницы 355 ¯

относительно арифметических операций как необходимые для использования арифметических операций, обеспечивая, например, переход от конкретных условий задачи к знаковой оперативной системе арифметики, точнее, как выделяющие и создающие содержание арифметической формулы. Анализ показывает, что действие с арифметической формулой должно опираться на систему разнородных средств. Так, числовое замещение совокупностей и использование знаков «+» и «—» связаны с различными группами средств.

3. Содержание знаков «+» и «—» выделяется в плоскости моделирования отношения совокупностей в обобщенной форме.

4. Используемая при этом модель должна быть такова, чтобы она, выделяя отношения совокупностей, обеспечивала бы в то же время связь разных плоскостей действий, включенных в способ.

Сформулировав эти требования, мы можем теперь идти в поиске и исследовании нужных средств двумя путями. Первый заключается в том, чтобы исходя из введенной нами искусственной модели преобразовывать и трансформировать ее до такого состояния, пока она не будет удовлетворять этим требованиям. Собственно, в предыдущих экспериментах мы и начали это проделывать, но пока не получили практического успеха, хотя результаты экспериментов позволили ввести ряд новых расчленений и уточнить требования к способу.

Конечно, эти попытки можно было бы продолжить. Однако такой путь, по-видимому, окажется очень длительным и, возможно, малопродуктивным. Дело в том, что требования, которые мы сформулировали выше, особенно учитывая необходимость отнесенности искомых средств к уже сложившейся оперативной системе арифметики, могут быть удовлетворены только при довольно сложной и развитой структуре данных средств. Например, мы сформулировали требование к средствам: они должны моделировать в обобщенной форме отношение совокупностей. Но что это значит? Каково должно быть содержание этих отношений? Могут ли они быть выражены с помощью одного средства или здесь необходим комплекс разных средств? Можно ли вообще как-то характеризовать содержание и форму этих отношений вне знания о знаковых средствах, выделяющих и создающих такого рода отношения? Наконец, как уже было сказано, необходимость связи этих средств с объектами арифметической системы

­ Конец страницы 355 ­

¯ Начало страницы 356 ¯

делает еще менее вероятной и возможной попытку их искусственного построения в исследовании.

Поэтому мы переходим с этого момента к другому методу — к анализу уже сложившихся средств как элементов способа решения арифметических задач.