Импликация и эквивалентность

 

Импликация – лат. implicatio – тесно связываю (условное высказывание, логическое следование). В естественном языке ей соответствует союз “если А, то В”, “когда А, тогда В”, “коль скоро А, то В”, “из А следует В”, “В необходимо для А”, А достаточно для В”, “А только тогда, когда В”, “В тогда, когда А”, “все А есть В”. Обозначается знаком “®“. Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: a®b. Пример: “Если через проводник проходит электрический ток, то проводник нагревается”. Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй – консеквентом, или следствием.

В повседневном языке союз “если …, то…” часто соединяет такие предложения, которые выражают причинно–следственную связь явлений, и первое предложение фиксирует причину, а второе – следствие этой причины. В приведенном примере прохождение электрического тока через проводник (причина) порождает его нагревание (следствие). Отсюда и название членов импликации.

Эквиваленция – лат. aequivalens – равноценное. В естественном языке ей соответствуют союзы “А если и только если В”, “А тогда и только тогда, когда В”, “А эквивалентно В”, “А необходимо и достаточно для В”, “А тогда и только тогда, когда В”. Эта связка используется нами в тех случаях, когда мы хотим сказать, что два суждения в некотором смысле эквивалентны. Обозначается знаками “º“, “«“. Например: “В нормальных условиях вода замерзает тогда и только тогда, когда температура опускается ниже 0°С”, “Страховая премия выплачивается в тех и только в тех случаях, когда доказано наличие неумышленного ущерба”, “Людоед голоден тогда и только тогда, когда он давно не ел”.

Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью обозначений означает их формализацию.

Упражнение №1 Используя связку “ если …, то …”, измените высказывание:

1) Человек, любящий животных – добрый.

2) Кончил дело – гуляй смело.

3) Знакомая дорога – самая короткая.

4) Тише едешь – дальше будешь.

5) Переходи улицу только на зеленый свет.

6) При встрече люди приветствуют друг друга.

7) В високосном году 366 дней.

8) Когда темнеет, зажигают фонари.

9) По стройке необходимо ходить в каске.

Упражнение №2 Установите логическую структуру следующих суждений:

1) Если я устал, то не могу готовиться к занятиям.

2) Если четырехугольник – параллелограмм и не ромб, то его диагонали не взаимно перпендикулярны.

3) Неверно, что ветер дует, если и только если нет дождя.

4) Тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если оно не вынуждено изменить это состояние под влиянием действующих сил.

5) Если мы пораньше освободимся и сходим в парк, то получим большое удовольствие.

6) Неверно, что если погода пасмурная, то дождь идет тогда и только тогда, когда нет ветра.

7) Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действует какая–либо сила.

8) Если Сергей и его хоровая капелла поедут в Москву, то, если запись пройдет успешно, их пригласят в Париж.

9) Если Иванов здоров и богат, то он здоров.

10)Число является простым, если оно делится только на единицу и само на себя.

11)Произвольно взятое число либо делится на 2, либо делится на 3.

12)Спортсмен подлежит дисквалификации, если он некорректно ведет себя по отношению к сопернику или судье, и если он принимал “допинг”.

Таблица истинности для импликации и эквивалентности.

Таблица истинности для эквивалентности проста: раз утверждается эквивалентность двух высказываний, то это утверждение будет истинным, когда члены эквиваленции имеют одно и то же значение – либо оба истинны, либо оба ложны.

С импликацией дело обстоит сложнее. Рассмотрим суждение “Если Солнце взошло, то на улице стало светло”. Здесь импликация соединяет два простых суждения “Солнце взошло” и “На улице стало светло”. Когда первое из них истинно и второе истинно, то импликация в целом считается истинной. Второй случай: Солнце взошло, но на улице светло не стало. Если такое произошло, импликация считается ложной. Третий случай: Солнце не взошло, но на улице стало светло. Опровергает ли это импликацию? Нет, такое вполне возможно: на улице зажглись фонари, стало светло, но это не противоречит связи между восходом Солнца и наступлением светлого времени суток. Импликацию можно считать истинной. Наконец, четвертый случай: Солнце не взошло, и светло не стало. Это вполне естественно, импликация остается истинной.

a	b	aºb	a®b
и	и	и	и
и	л	л	л
л	и	л	и
л	л	и	и

Упражнение №3 Определить истинность следующих суждений:

1) Если он – ученый, то его сын – хороший ученик.

2) Если Луна сделана из зеленого сыра, то Лондон находится во Франции

3) Если асфальт мокрый, то идет дождь.

4) Слон голоден тогда и только тогда, когда он давно не ел.

5) Если солнце ярко светит, то ты пойдешь на речку.

6) Монета падает орлом тогда и только тогда, когда она падает решкой

7) Если Костя – брат некто, то некто – брат Кости.

8) Если снег бел, то 2 х 2 = 4

Упражнение №4 Найти значения:

1) суждения a, если a®b=истина, b=ложь

2) суждения b, если a®b=ложь, a=истина

3) суждения b, если aºb=истина, a=истина

4) суждения р, если pºq=истина, Øq Ú r=истина

Упражнение №5 Найти значения следующих суждений, если a=истина:

1) (b® a)® a

2) Øa ® (Øa & b)

3) aº Øa

 

Порядок выполнения логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Кроме того, на порядок операций влияют скобки.

 

Упражнение №6 Постройте таблицы истинности для следующих выражений:

1) (a & b) ® a

2) Ø(a ® (a Ú b))

3) (a Ú b) ® (a & b)

4) (a ® b) ® (b ® a)

5) ((с & b) ® b) & (a & b)­® b

6) ((a Ú Øb) ® b) & (Øa Ú b)

7) Ø(a & b) º (Øa Ú b)

8) Ø((a ® b) º (Øb ® Øa))