Неограниченные портфели

В этом разделе мы увидим, что можно поднять прибыли выше линии GCML, если снять ограничение на сумму весов. Давайте вернемся к геометрическим оп­тимальным портфелям. Если мы попробуем составить геометрический опти­мальный портфель из наших четырех рыночных систем — Toxico, Incubeast, LA Garb и сберегательного счета, то с помощью уравнений с (7.0ба) по (7.06г) най­дем, что он является таковым при Е, равном 0,1688965, и V, равном 0,1688965. Среднее геометрическое такого портфеля будет равно 1,094268, а состав портфе­ля будет иметь вид:

Toxico 18,89891%

Incubeast 19,50386%

LA Garb 58,58387%

Сберегательный счет 0,03014%

При решении уравнений с (7.06а) по (7.06г) необходимо использовать метод ите­раций, т.е. выбирать тестируемое значение для Е и решать матрицу для этого Е. Если полученное значение дисперсии больше значения Е, это означает, что тес­тируемое значение Е слишком высокое и в следующей попытке следует его пони­зить. Вы можете определить дисперсию портфеля, используя одно из уравнений с (6.06а) по (6.06г). Повторяйте процесс, пока не будет выполняться любое из ра­венств с (7.06а) по (7.06г). Таким образом вы получите геометрический оптималь­ный портфель (отметьте, что все рассмотренные портфели на эффективной гра­нице AHPR или на эффективной границе GHPR определяются с учетом того, что сумма весов равна 100%, или 1,00). Вспомните уравнение (6.10), используемое в первоначальной расширенной матрице для поиска оптимальных весов портфеля, уравнение отражает тот факт, что сумма весов равна 1:

где N = количество ценных бумаг, составляющих портфель;

X. = процентный вес ценной бумаги L Уравнение также можно представить следующим образом:

Мы можем найти неограниченный оптимальный портфель, если левую часть этого уравнения приравнять к числу больше 1. Для этого добавим еще одну рыночную систему, называемую беспроцентным вкладом (non-interest-bearing cash (NIC)), в первоначальную расширенную матрицу Данная рыночная система будет иметь дневное среднее арифметическое HPR= 1,0, а стандартное отклонение, диспер­сию и ковариацию дневных HPR равными 0. Коэффициенты корреляции NIC с любой другой рыночной системой всегда равны 0.

Теперь установим ограничение суммы весов на некоторое произвольное чис­ло, большее единицы. Хорошим первоначальным значением будет количество используемых рыночных систем (без NIC), умноженное на три. Так как мы имеем 4 рыночные системы (не учитывая NIC), то ограничим сумму весов 4*3=12.

Отметьте, что мы просто устанавливаем ограничение на произвольное значе­ние, большее единицы. Разность между этим выбранным значением и суммой полученных весов будет весом системы NIC.

На самом деле, мы не собираемся инвестировать в NIC. Это просто дополни­тельная переменная, с помощью которой мы создадим матрицу для получения

неограниченных весов рыночных систем. Теперь возьмем параметры наших че­тырех рыночных систем из главы 6 и добавим NIC:

Ковариации рыночных систем, включая NIC, будут следующими:

Добавив NIC, мы получим 5 рыночных систем, и обобщенная форма первона­чальной расширенной матрицы будет выглядеть следующим образом:

неограниченных весов рыночных систем. Теперь возьмем параметры наших че­тырех рыночных систем из главы 6 и добавим NIC:

Инвестиция	Ожидаемая прибыль в виде HPR	Ожидаемое стандартное отклонение прибыли
Toxico	1,095	0,316227766
Incubeast Corp.	1,13	0,5
LA Garb	1,21	0,632455532
Сберегательный счет	1,085
Беспроцентный вклад	1,00

 

Ковариации рыночных систем, включая NIC, будут следующими:

	Т	I	L	S	N
Т	0,1	-0,0237	0,01
I	-0,0237	0,25	0,079
L	0,01	0,079	0,4
S
N

 

Добавив NIC, мы получим 5 рыночных систем, и обобщенная форма первона­чальной расширенной матрицы будет выглядеть следующим образом:

После включения NIC первоначальная расширенная матрица приобретет вид:

Отметьте, что значение на пересечении столбца ответов и второй строки, т.е. огра­ничение суммы весов, равно количеству рыночных систем (не включая NIC), ум­ноженному на 3. С помощью элементарных преобразований, описанных в главе 6, получим еди­ничную матрицу. Теперь вы можете определить эффективную границу AHPR и эф­фективную границу GHPR для портфеля с неограниченными весами. Эффективная граница AHPR для портфеля с неограниченными весами соответствует использова­нию рычага (заемного капитала) без реинвестирования.

Эффективная граница GHPR соответствует использованию рычага и реин­вестированию прибылей. Наша цель — найти оптимальный неограниченный геометрический портфель, который в результате даст наибольший геометричес­кий рост. Можно использовать уравнения с (7.Оба) по (7.06г) для нахождения на эффективной границе геометрического оптимального портфеля. В нашем слу­чае, независимо от того, какое значение мы пытаемся найти для Е (значение на пересечение столбца ответов и первой строки), мы получаем один и тот же пор­тфель, состоящий только из сберегательного счета, поднятого рычагом для дос­тижения желаемого значения Е. В этом случае мы получаем самое низкое V (т. е. 0) для любого Е.

Удалим из матрицы сберегательный счет и повторим процедуру. На этот раз мы рассмотрим только четыре рыночные системы (Toxico, Incubeast, LA Garb и NIC) и ограничим сумму весов числом 9. Мы должны поступить таким образом, потому что, как только в матрице появляется компонент с нулевой дисперсией и AHPR большим 1, мы получаем оптимальный портфель, состоящий из одного компонента, а для соответствия требуемому Е будет меняться только рычаг это­го компонента.

Решив матрицу, мы увидим, что уравнения с (7.06а) по (7.06г) удовлетворяют­ся при Е, равном 0,2457. Так как это геометрический оптимальный портфель, V также равно 0,2457. Получившееся среднее геометрическое равно 1,142833. Порт­фель будет выглядеть следующим образом:

Toxico 102,5982%

Incubeast 49,00558%

LA Garb 40,24979%

NIC 708,14643%

Возникает резонный вопрос: «Каким образом сумма весов компонентов может быть больше 100%?» Мы ответим на этот вопрос, но несколько позже.

Если NIC не является одним из компонентов геометрического оптималь­ного портфеля, то следует поднять ограничение суммы весов S до уровня, ког­да NIC станет одним из компонентов геометрического оптимального портфе­ля. Вспомните, что если в портфеле есть только два компонента, причем ко­эффициент корреляции между ними равен -1 и оба компонента имеют поло­жительное математическое ожидание, тогда от вас потребуется финансирова­ние бесконечного числа контрактов, поскольку такой портфель никогда не будет проигрывать. Следует также отметить, что чем ниже коэффициенты корреляции между компонентами в портфеле, тем выше процент, требуемый для инвестирования в эти компоненты. Разность между инвестированными процентными долями и ограничением суммы весов S должна быть заполнена NIC. Если NIC отсутствует среди компонентов геометрического оптимально­го портфеля, значит портфель работает при ограниченном S и поэтому не мо­жет считаться неограниченным геометрическим оптимальным портфелем. Так как вы не будете в действительности инвестировать в NIC, то не имеет значения, каков его вес, пока он является частью геометрического оптималь­ного портфеля.