Нормальные напряжения при поперечном изгибе

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сечения при повороте осей координат из положения x и y к положению u и v. Из рис. 3.5, б легко установить, что

u = y sin a + x cos a; v = y cos a - x sin a. (3.10) Из выражений:

с учетом (3.10) после несложных преобразований получим:

(3.11)

Складывая первые два уравнения, получим:

Iu + Iv = Ix + Iy = Ir, (3.12)

Где ; Ir - полярный момент инерции сечения, величина которого, как видно, не зависит от угла поворота координатных осей.

Дифференцируя в (3.11) выражение Iu по a и приравнивая его нулю, находим значение a = a0, при котором функция Iu принимает экстремальное значение:

(3.13)

С учетом (3.12) можно утверждать, что при a = a0 один из осевых моментов Iu или Iv будет наибольшим, а другой наименьшим. Одновременно при a = a0 Iuv обращается в нуль, что легко установить из третьей формулы (3.11).

Декартовы оси координат, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными и определяются из (3.11) с учетом (3.13) и имеют вид:. (3.14)

Момент сопротивления относительно некоторой оси – величина равная мо-менту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию (y_max или z_max) до наиболее удаленной от этой оси точкиW y= Iy/zmax; Wz=Iz/ymax. Размерность моментов сопротивления метры кубические в СИ Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величи-на, определяемая из соотношения:

iz=√Iz/ Fiy=√Iy/F Радиус инерции выражается в м в системе СИ