Основные свойства определенного интеграла. Из формулы определенного интеграла и основных теорем о пределах вытекают следующие свойства определенного интеграла:

Из формулы определенного интеграла и основных теорем о пределах вытекают следующие свойства определенного интеграла:

1.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, то есть, если - постоянная, то

(8.10.)

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного количества непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого, то есть

(8.11)

3. Если на отрезке , где функции и удовлетворяют условию , то

Если и , то это свойство можно продемонстрировать геометрически (рис.8.2).

Поскольку , , это площадь криволинейной трапеции больше площади криволинейной трапеции .

4. Если и наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке и , то

(8.12)

Для это свойство иллюстрируется геометрически таким образом (рис. 8.3):

Для это свойство иллюстрируется геометрически таким образом (рис. 8.3):

 

Площадь криволинейной трапеции больше площади прямоугольника , но меньше площади прямоугольника .

 

5. (Теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , где , то на этом отрезке найдется такое значение , что будет справедливым равенство:

(8.13)

 

Геометрически для случая, когда , это означает (рис.8.4), что площадь под кривой на равна площади прямоугольника со сторонами и

6. Для произвольных трех чисел справедливо равенство

 

(8.14)

если только все эти три интеграла существуют.

В случае, когда содержится между и і , это свойство иллюстрируется геометрически (рис. 8.5).

Если же , то

откуда имеем:

Учитывая замечание (2) о том, что

(при изменении пределов интегрирования знак изменяется на противоположный), отсюда получим, что