Связь между определенным и неопределенным интегралом

При сравнении определенного и неопределенного интеграла видно, что это разные понятия: определенный интеграл - это число, а неопределенный интеграл - это функция. И все же между ними существует связь, которая разрешила найти удобный способ для вычисления определенного интеграла. Прежде чем сформулировать его, рассмотрим определенный интеграл с переменным верхним пределом.

Таким образом, пусть в определенном интеграле нижняя граница постоянна и равна , а верхняя граница изменяется, поэтому обозначим ее через х, а чтобы не путать с переменной интегрирования, обозначим последнюю через . Пусть непрерывна на . Рассмотрим интеграл . Каждому значению переменной отвечает определенное значение интеграла. Итак, представляет собой функцию от . Обозначим ее через и найдем производную от этой функции по переменной . Для этого зададим переменной приращение и вычислим приращение

(8.15)

Используя свойства определенного интеграла 8.14 и 8.13 из формулы (8.15), получим

,

где находится между и .

По определению производной

.

Таким образом, мы выяснили, что то есть мы доказали теорему:

Если - непрерывная функция на и , то имеет место равенство

(8.16)

Итак, производная от определенного интеграла по переменной верхней границе равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхней границы. При >0 имеет геометрическое толкование - площадь криволинейной трапеции

Из рис. 8.6 видно, что с изменением эта площадь изменяется, то есть действительно является функцией переменной

Сформулируем и докажем теперь теорему Ньютона - Лейбница.

Теорема.4. Если какая-то первообразная для непрерывной функции , то справедлива формула

 

 

. (8.17)

Эта формула и называется формулой Ньютона - Лейбница. Докажем ее. По условию теоремы является первообразной для . Но из формулы (8.16) вытекает, что является также первообразной для функции Две первообразные для одной функции отличаются на постоянное слагаемое, значит,

(8.18)

Предоставим , тогда

Отсюда, используя (8.9), имеем, что откуда

(8.19)

С учетом (8.19) формула (8.18) примет вид

При из этого имеем, что

или, изменив обозначение переменной интегрирования на , получим формулу (8.17).

Введем обозначение , тогда формула (8.17) приобретает вид

(8.20)

Формула (8.20) (Ньютона-Лейбница) дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, если известна первообразная для подынтегральной функции. С открытием этой формулы математика получила общий метод для решения разных задач, что позволило значительно расширить круг применений определенного интеграла. Итак, задача вычисления определенного интеграла свелась к последовательности двух задач: вычисления неопределенного интеграла (первообразной), а потом вычисления приращения первообразной на заданном промежутке. Для вычисления неопределенного интеграла применяются два основных метода: метод подстановки и интегрирования по частям. Рассмотрим некоторую специфику применения этих методов при вычислении определенного интеграла.