Интегрирование подстановкой

Пусть надо вычислить определенный интеграл

где - непрерывная на функция, а первообразной для нее нет в таблице простейших интегралов. Тогда произведем замену переменной, а именно, введем новую переменную таким образом: , где - непрерывно дифференцируема на функция.

Если при этом будут выполняться такие условия:

1) при изменении от до переменная изменяется от до , то есть

. (8.24)

2) сложная функция определена и непрерывна на отрезке , то справедлива такая формула

(8.25)

Формула (8.25) и выражает собою суть метода подстановки.

Замечание. При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет необходимости возвращаться к старой переменной (как это нужно было делать при вычислении неопределенного интеграла) достаточно лишь учесть границы интегрирования соответственно (8.24).

Пример 8.3. Вычислить

Решение

Введем новую переменную . Тогда

. Вычислим границы интегрирования и результат представим в виде табл. 1. Таблица 1

x
t

 

из которой видно, что при , а при . Итак, после введении новой переменной получим

Пример 4. Вычислить .

Решение.

Произведем замену переменной: . Тогда , а границы интегрирования приобретают значения: при

при

Итак, получаем

 

Таким образом, видим, что различие в применении метода замены переменной в неопределенном и определенном интеграле состоит в том, что в втором случае не надо возвращаться к старой переменной, поскольку при замене переменной изменяются также и границы интегрирования.