Студопедия — Приближенное вычисление определенного интеграла
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Приближенное вычисление определенного интеграла






Пусть надо вычислить , но первообразная для функции не выражается через элементарные функции. Тогда применить формулу Ньютона-Лейбница невозможно. В таких случаях применяются методы приближенного вычисления определенных интегралов. Рассмотрим их, используя определение интеграла как границы интегральной суммы. Разделим отрезок точками на частичных отрезков равной длины. Обозначим длину каждый из них через . Тогда

Обозначим через значения функции в точках , то есть

.

Составим суммы:

,

.

Каждая из этих сумм представляет собой интегральную сумму для на отрезке и поэтому приближенно выражает интеграл

, (8.26)

. (8.27)

Из рис. 8.7 видно, что формула (8.26) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, вписанных в криволинейную трапецию, а формула (8.27) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, описанных вокруг криволинейной трапеции. Поэтому формулы (8.26; 8.27) называются формулами прямоугольников. Погрешность при вычислении интегралов за формулами прямоугольников будет тем меньше, чем больше число n. Она выражается формулой

где - максимальное значение абсолютной величины производной на .

Более точное значение определенного интеграла получим, если данную кривую заменим не ступенчатой линией, как это делается в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной (рис. 8.8).

Тогда площадь криволинейной трапеции заменится суммой площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху хордами

Поскольку площадь первой из этих трапеций равна , площадь второй равняется , то

или

. (8.28)

Легко видеть, что она дает среднее арифметическое из формул (8.26 и 8.27). Формула (8.28) называется формулой трапеций. В этом случае погрешность вычисляется по формуле

где - минимальное значение абсолютной величины второй производной на .

Более точные результаты можно получить по формуле Симпсона (или формуле парабол), которая имеет вид:

(8.29)

При этому надо обратить внимание на то, что число частичных отрезков, на которые разбивается отрезок , должно быть обязательно четным, то есть . Тогда каждые две соседних криволинейных трапеции, на которые разбилась вся криволинейная трапеция (рис. 8.8), заменяются параболической трапецией, площадь которой исчисляется по формуле ,

где и - крайние ординаты, - ордината кривой в середине отрезка, а - расстояние между ординатами и (рис. 8.9).

Погрешность при этом может быть вычислена по формуле

 

где - максимальное значение абсолютной величины производной на отрезке .

Пример.5. Вычислить приближенно .

Точное значение его . З точностью до седьмого знака . Вычислим теперь его значение, пользуясь формулами (8.26-8.29). Для этого разделим отрезок на 10 равных отрезков. Тогда длина каждого из них будет .

Составим табл. 2 значений подынтегральной функции в точках разбиения .

Таблица 2

 

Тогда по формуле (8.26) получим .

По формуле (8.27) .

По формуле (8.28) .

По формуле Симпсона (8.29)

Таким образом, по формуле Симпсона при получили 5 верных знаков, по формуле трапеций - лишь три верных знака, за формулами прямоугольников мы можем быть уверены только в одном знаке.







Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 406. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Этапы и алгоритм решения педагогической задачи Технология решения педагогической задачи, так же как и любая другая педагогическая технология должна соответствовать критериям концептуальности, системности, эффективности и воспроизводимости...

ЛЕЧЕБНО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ НАСЕЛЕНИЮ В УСЛОВИЯХ ОМС 001. Основными путями развития поликлинической помощи взрослому населению в новых экономических условиях являются все...

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия