Розрахунок повного опору електричного кола

, ,

де L = 10^–6 Гн – індуктивність;

C = 0.1× 10^–6 Ф – ємність;

V = 50, 10³, 10⁴ Гц – частота коливань;

R = 1000 Ом – активний опір;

PI = 3.14159265.

Варіант 6

Розрахунок рівноважного потенціалу калію для мембрани клітини

,

де F = 9.65×10⁴ Кл/моль – число Фарадея;

R = 8.31 Дж/моль × К – універсальна газова стала;

C_i = 410, 150, 114 мМ / л – концентрація іонів калію всередині кліти­ни;

C_e = 10, 5.5, 2.7 мМ / л – концентрація іонів калію зовні клітини;

T = 273, 288, 300 K – абсолютна температура.

Варіант 7

Розрахунок амплітуди сумарного коливання

,

де A ₁ = 3 – амплітуда першого коливання;

A ₂ = 4 – амплітуда другого коливання;

= 0, PI /4, PI /2, PI – різниця фаз.

Варіант 8

Розрахунок енергії протона

,

де m ₀ = 1.6726×10^–27 кг – маса протона;

C = 3×10⁸ м/с – швидкість світла;

V = 0, 10⁷, 10⁸ м/с – швидкість частинки.

Варіант 9

Розрахунок об’ємної швидкості протікання рідини в циліндричній трубці

,

де R = 0.5, 1, 2, 2.5 см – внутрішній радіус трубки;

h = 5 мПа × с – в’язкість рідини;

P ₁ = 100 мм. рт. ст., P ₂ = 90 мм. рт. ст. – тиск;

L = 10 см – довжина трубки;

PI = 3.14159265;

1 мм. рт. ст. = 133.33 Па.

2.6. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ “МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ІМУННОЇ РЕАКЦІї”

“...Весь попередній досвід запевняє нас у тому, що природа являє собою реалізацію найпростіших математично допустимих елементів. Я впевнений, що за допомогою чисто математичних конструкцій ми може­мо знайти ті поняття і закономірні зв’язки між ними, які дадуть нам ключ до розуміння явищ природи...”

А. Ейнштейн, “Світ, яким я його бачу”

Мета заняття: 1. Познайомитись з основами математич­ного моделювання медико-біологічних процесів на прикладі моделювання імунної реакції.

2. Вивчити деякі особливості застосування комп’ютер­но­го моделювання імунної реакції в медицині (прогнозуван­ня протікання захворювання, тактики лікування).

Забезпечення:

1. Персональний комп’ютер IBM PC.

2. Дискета з операційною системою та навчальною програмою “Імунна реакція”.

Контрольні питання для підготовки до заняття

1. Яку допомогу може отримати лікар від використання комп’ю­тер­ного прогнозу на основі математичних моделей?

2. Яким чином у математичних моделях імунної реакції організму врахо­ву­ються індивідуальні особливості імунної системи?

3. Що необхідно зробити для підвищення точності комп’ютерних про­гнозів на основі математичних моделей?

4. Чи можливе використання комп’ютерного моделювання при розв’язанні таких задач:

а) прогнозування захворюваності при зміні екологічних обста­вин;

б) планування постачання лікарських препаратів у різні регіони краї­ни;

в) прогнозування середньої тривалості життя людей різних ре­гіо­нів?

5. Хто, на Вашу думку, несе відповідальність за результати ліку­ван­ня при використанні моделей захворювання: лікар, пацієнт, ЕОМ чи розробник моделі?

6. Чому в математичних моделях імунної реакції використовують ли­ше дифе­рен­ційні рівняння?

7. Які фактори враховуються в математичній моделі протипух­лин­но­го імуні­тету?

8. Які імунні процеси описує модель аутоімунної реакції?

Додаткова література

1. Нисевич Н.И., Марчук Г.И. Математическое моделирование ви­рус­ного гепатита. – М.: Наука, 1981. – 325 с.

2. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Л.С. Математи­чес­кая биофи­зи­ка. – М.: Наука, 1984. – 304 с.

2.6.1. Додаткові теоретичні відомості

Математичні моделі імунних реакцій

За основу навчально-дослідницької програми взято три різні математичні моделі імунних реакцій організму: модель протипухлинного імунітету, модель аутоімунної реакції та мо­дель гуморального імунітету.

Імунітет – це складний комплекс реакцій. До ниніш­нього часу не створено загальної математичної моделі, що пов­ністю описує весь комплекс імунних реакцій організму. Тому при розв’язанні різних наукових або практичних задач (наприклад, при лікуванні різних захворювань) використовуються різні математичні моделі, що відповідають певному типу імунної реакції. При описі ракових захворювань викорис­товують математичну модель протипухлинного іму­ні­тету. При описі аутоімунних захворювань (червона вовчанка, ревматоїдний артрит, атеросклероз тощо) – математичну модель гуморального імунітету.

Дані математичні моделі не описують всі аспекти імуні­те­ту. Для діагностичних цілей існують спеціальні комп’ю­тер­ні медичні програми – експертні системи. Знаючи діаг­ноз, можна використовувати при виборі лікування математичну модель імунної реакції, яка відповідає даному захворю­ван­ню. Тому в навчально-дослідницькій програмі “Імун­на реакція” досліджуються три типи математичних мо­де­лей, що описують різні типи імунної реакції. Кожна з трьох математичних моделей являє самостійний інтерес і при­зна­чена для навчальних задач.

Розділ 3 – математична модель протипухлинного імуні­тету. На основі даної моделі розв’язується така навчальна за­дача: яким чином одна математична модель дає різну динаміку імунної реакції для індивідуальних наборів парамет­рів імунної системи пацієнта?

Розділ 5 – математична модель аутоімунної реакції. На основі даної моделі в режимі дослідження розв’язується прак­тична задача: за допомогою комп’ютерного моделювання імунної реакції необхідно визначити параметри теоретичного впливу, які приводять до виліковування конкретного пацієнта (ЕОМ кожного разу задає новий набір інди­ві­ду­аль­них параметрів імунної системи).

Розділ 7 – математична модель гуморального імунітету. На основі цієї моделі вирішується така практична задача: як комп’ютерне моделювання дозволяє не тільки вибирати параметри терапевтичного впливу, а й визначити для даного пацієнта (індивідуальний набір параметрів імунної системи задає ЕОМ) поєднання двох різних способів лікування ін­фек­ційного захворювання.

2.6.2. Математична модель протипухлинного імунітету

Дана модель описується системою двох диференційних рів­­нянь:

dX / dt = A × X – B × X × Y,

dY / dt = C ×(X – D × X ²)× Y – E × Y + S,

де X (t) – концентрація пухлинних клітин;

Y (t) – концентрація лімфоцитів-кілерів, руйнуючих пухлинні кліти­ни.

У цих рівняннях враховуються такі механізми:

Розмноження лімфоцитів-кілерів (С ×(X – D × X ²)× Y).

Природна загибель лімфоцитів-кілерів (–E × Y).

Постійний приток попередників лімфоцитів зі стовбурових клітин та лімфоцитів (A, B, C, D, E, S), а також кількості пухлинних клітин та лімфоцитів на початку захворювання (початкові умови: X (0), Y (0)).

Дана математична модель дозволяє описати різну дина­мі­ку імунного процесу та захворювання:

А) необмежене зростання пухлини при “слабкій” імунній системі;

В) остаточне розсмоктування пухлини без терапевтич­но­­го втру­чан­ня;

С) хронічна форма пухлинного захворювання.

У завданні по даній моделі (розділ 3 програми) необ­хід­но:

1. Дослідити залежність протікання пухлинного захворю­вання від параметрів імунної системи Вашого пацієнта:

- від параметра S – швидкості притоку передвісників лімфо­ци­тів-кілерів, який повинен змінюватись в межах від 0.2 до 8 умовних одиниць;

- від параметра Y – концентрації лімфоцитів-кілерів на початку захворювання, який може змінюватись в межах від 0.4 до 5 умовних одиниць.

Для виконання даного завдання необхідно:

1. Обрати мінімальне значення параметра Y (можливість імун­ної системи).

2. Змінювати значення параметра S від мінімального до максимального так, щоб в процесі моделювання можна було визначити його інтервали, при яких:

а) Ваш пацієнт гине (спостерігається безперервний ріст клі­тин пухлини);

б) Ваш пацієнт одужує (спостерігається розсмоктування клі­тин пухлини);

в) у пацієнта спостерігається хронічна форма протікан­ня захворювання.

3. Вибрати нові значення параметра Y і за методикою п. 2 знову визначити нові значення параметрів S для всіх трьох форм протікання хвороби.

4. Збільшувати значення параметра Y доти, доки при мі­ні­маль­ному значенні параметра S = 0.2 буде спостерігатись лише одна форма протікання хвороби – розсмоктування клі­тин пухлини (кількість різних значень параметра Y повинна бу­ти не меншою 10).

У звіті про дане завдання Вам необхідно вказати:

1. Таблицю значень параметра Y з інтервалами значень па­ра­метра S для різних форм протікання захворювання.

2. За вибраними значеннями параметра Y та одержаними в процесі моделювання діапазонами значень параметра S намалювати області різних форм протікання хвороби.

2.6.3. Математична модель аутоімунного захворювання

Дана модель включає систему трьох диференційних рів­нянь:

dX / dt = A × X – B × X ² – C × X × Y,

dY / dt = D × Z × Y – E × Z × Y – K × Y,

dZ / dt = L × X × Y – M × Z,

де X – концентрація клітин здорової тканини, не враженої за­хворюванням;

Y – концентрація лімфоцитів-кілерів, що руйнують клітини тканини органа при аутоімунному захворюванні;

Z – концентрація антигенів, що виділяються при руйнуванні клі­тин тканини.

У даній математичній моделі мають місце такі фактори:

У диференційному рівнянні для “ X ” –

1) Розмноження клітин здорової тканини (A × X);

2) Природне відмирання клітин здорової тканини (–B × X ²);

3) Загибель клітин тканини під дією лімфоцитів імунної системи (–C × X × Y);

У диференційному рівнянні для “ Y ” –

4) Розмноження популяції лімфоцитів (D × Z × Y);

5) Руйнування лімфоцитів при їх взаємодії з клітинами тка­нини (–E × Z × Y);

6) Природна загибель лімфоцитів (–K × Y);

У диференційному рівнянні для “ Z ” –

7) Синтез антигенів клітинами тканини (–L × X × Y);

8) Розпад антигенів (–M × Z).

Процеси, які описує дана математична модель аутоімун­ної реакції, такі:

А) при будь-яких початкових руйнуваннях тканини і кон­центрації агресивних лімфоцитів (Y (0)) організм здатний повністю відновити пошкоджену тканину;

Б) повне зруйнування тканини органа при аутоімунному за­хворюванні;

В) хронічне протікання аутоімунного захворювання з пе­ріодич­ними рецидивами.

Використання комп’ютерного моделювання на основі математичної моделі аутоімунного захворювання можливе в практичній медицині. При лікуванні аутоімунного захворюван­ня застосовують кортикостероїдні препарати (типу гід­ро­кор­тизону). Ці препарати пригнічують виникнення лімфо­ци­тів-кілерів (зменшують Y у наших рівняннях). Такий вплив на лімфоцити-кілери дозволяє перевести хронічну фор­му захворювання у форму, що веде до одужання (тобто до стабілізації кількості клітин тканини на нормальному рів­ні).

У завданні до даної моделі необхідно:

Розробити прогноз протікання захворювання без лі­ку­ва­ня.

На основі прогнозу вибрати стратегію лікування, тоб­то вибрати день призначення кортикостероїдного лікуваль­но­го препарату.

Оптимізувати вибір дози введення препарату для оду­­жання протягом не більше N діб (N – задається викладачем).

При виконанні другого пункту завдання за результатом прогнозу необхідно обрати час введення лікувального препарату та, зміню­ючи його дозу, аналізувати хід протікання хвороби. Якщо протягом заданого часу введення препарату про­цес одужання не настає, то вибрати новий момент введен­ня і повторити аналіз проті­кан­ня хвороби до настання одужання пацієнта. День введення препарату повинен обиратись як ціле число, а доза препарату – вільні числа.

У звіті про дану модель необхідно вказати:

Графік протікання хвороби при прогнозі.

Графік протікання хвороби при появі перших показників одужання.

Графік протікання хвороби при одужанні протягом не більше К діб.

2.6.4. Математична модель гуморального імунітету

dX/dt = A×X – B×Y×X – C×X,

dY / dt = D × Z – K × Y × X – L × Y,

dZ / dt = M × X /(X + Q) – N × Z,

де X – концентрація антигенів (вірусів, бактерій та ін.);

Y – концентрація антитіл, що нейтралізують антигени;

Z – концентрація плазматичних клітин, які синтезують анти­тіла;

A, B, C, K, L, M, Q, N – індивідуальні параметри імунної систе­ми.

Фактори імунної реакції, взяті до уваги в даній математич­ній моделі:

В рівняння для “ X ” (концентрація антигенів):

1) Розмноження чужорідних вірусів і бактерій в орга­ніз­мі людини (A×X). Коефіцієнт A обернено пропорційний темпе­ратурі організму або ділянки тіла: A (T) = a / T, де Т – темпе­ратура біологічної тканини;

2) Нейтралізація антигенів за допомогою антитіл імун­ної систем (–B × Y × X);

3) Природне відмирання антигенів (–C × X).

В рівняння для “ Y ” (концентрація антитіл):

4) Синтез антитіл плазматичними клітинами (D × Z);

5) Зменшення кількості антитіл при нейтралізації анти­ге­нів (–K × Y × X);

6) Природне відмирання антитіл (–L × Y);

В рівняння для “ Z ” (концентрація плазматичних клітин):

7) Розмноження плазматичних клітин в результаті стиму­ляції антигенами (M × X / (X + Q)). Коефіцієнт M прямо пропорційний температурі: M = m × T, де Т – температура біологічної тканини;

8) Природне відмирання плазматичних клітин (–N × Z).

Імунні процеси, які описує дана математична модель:

А) субклінічна форма протікання інфекційного захво­рю­­вання;

Б) гостра форма протікання інфекційного захворювання;

В) летальна форма протікання інфекційного захворювання (без терапевтичного впливу);

Г) хронічна форма інфекційного захворювання (без терапевтичного впливу).

За допомогою комп’ютерного моделювання виявлено, що хронічну форму інфекційного захворювання можна пе­ре­вести в гостру з одужанням. В наукових дослідженнях по­ка­зано, що такого ефекту можна досягти двома методами:

1. Метод гіпертермії: підвищення штучним чином температури організму або ділянки тіла за допомогою лікар­ських або фізіотера­пев­тичних засобів, які не дають побіч­них дій на імунну систему організму.

2. Метод загострення: введення в організм біостиму­ля­то­ра – конкуруючого непатогенного антигена, що не роз­мно­жується. При використанні методу загострення тимчасово послаблюється противірусний імунітет, вірус отримує можливість розмножуватись. А піс­ля введення біостимуля­то­ра виникає посилена імунна відповідь, що приводить до швидкого одужання.

Розрахунки на ЕОМ необхідні в даному випадку для того, щоб визначити поєднання цих двох методів лікування з урахуванням індивідуальних особливостей імунної системи кожного конкретного пацієнта (коефіцієнтів в рівняннях математичної моделі). Значення цих коефіцієнтів одержують з результатів спеціальних біохімічних досліджень. Для різних пацієнтів одна й та ж сама модель дає різну динаміку проті­кан­ня хвороби, оскільки у кожного пацієнта свій набір параметрів імунної системи.

У завданні до даного розділу необхідно:

1. Провести прогноз протікання хвороби без терапев­тич­ного втручання.

2. Дослідити вплив методу гіпер- і гіпотермії на хід протікання захворювання і визначити оптимальну температуру тіла пацієнта, за якої можливе його одужання.

3. Дослідити вплив двох методів (метод зміни температури тіла, метод загострення) на процес одужання пацієнта.

При виконанні третього пункту температуру тіла (органа) задавати ту, що знайдено при виконанні пункту 2. Дос­лідження ходу протікання хвороби проводити таким чином:

- вибрати момент введення лікувального препарату;

- змінити дозу препарату, досягти одужання пацієнта.

День введення препарату повинен вибиратись як ціле число.

У звіті необхідно вказати:

Графік протікання захворювання без терапевтичного втручання (прогноз).

Графік протікання хвороби і одужання при лікуванні методом зміни температури тіла (органа).

Графік протікання хвороби і одужання при одночасному використанні обох методів лікування.