Стаціонарний стан відкритих систем і теорема Пригожина щодо мінімуму виробництва ентропії

Розглянемо поняття стаціонарного стану, котре грає важ­ливу роль в термодинамічному описанні відкритих систем.

Повна зміна ентропії dS у відкритій системі може бути представлена як сума двох доданків

dS = dS_i + dS_e, (7.16)

що описують в загальному вигляді такі процеси:

1) процеси зміни ентропії всередині системи (dS_i),

2) процеси зміни ентропії через взаємодію відкритої сис­те­ми з навколишнім середовищем (dS_e).

Коли б всередині досліджуваної системи відбувалися лише зворотні процеси, то зміна ентропії була б відсутня (dS_i = 0). Оскільки всередині реальної системи протікають незворотні дисипативні процеси, в результаті яких наробля­ється ентропія, то dS_i > 0. Щодо знаку величини dS_e, то він може бути довільним і залежить від того, відбувається поступлення ентропії в систему або відтік ентропії з неї, пов’яза­ний з потоками частинок, тепла та іншими проце­сами пере­носу через поверхню, що обмежує виділений об’єм дослід­жу­ваної системи.

Стаціонарним називається такий стан системи, при якому ентропія всієї відкритої системи S зберігаєть­ся, тобто повна зміна ентропії дорівнює нулю (dS = 0).

Із умови постійності ентропії (dS = 0) і рівняння (7.16) безпосередньо випливає, що dS_e = – dS_i. Тоді в силу пози­тив­ності зміни ентропії dS_i за рахунок дисипативних процесів, що відбуваються всередині системи, зміна ентропії dS_e через взаємодію відкритої системи з довкіллям повинна бути від’ємною (dS_e < 0) і достеменно рівною за модулем зміні ентропії dS_і всередині системи. Подібна реалізація умови стаціонарності відкритої системи стає можливою, якщо ентропія, що наробляється всередині систе­ми, повністю переходить в навколишнє середовище. Іншими словами, можна стверджувати, що відкриті системи у стаціонарному стані живляться негентропією (від’ємною ентропією) N = – S.

Пригожиним було доведено, що у стаціонарному стані виробництво ентропії мінімальне (s = s_мін). Це твердження має назву “ теорема Пригожина ”. Розглянемо міркування, що приводять до встановлення цієї теореми.

Дійсно, з отриманих в 7.2.2 формул для виробництва ентропії s = dS / dt = å J_i X_i та лінійного закону J_i = å L_ik X_k маємо

s = å L_ik X_i Х_k. (7.17)

Для спрощення обмежимося випадком двох термодина­міч­них сил і відповідно двох потоків. Тоді, приймаючи до уваги принцип симетрії кінетичних коефіцієнтів (L_ik = L_ki), можна записати наступний вираз для виробництва ентропії:

.

Обчислимо часткові похідні від виробництва ентропії s по термодинамічним силам Х ₁ і Х ₂:

¶ s /¶ Х ₁ = 2 L ₁₁ X ₁ + 2 L ₁₂ X ₂ = 2 J _1,

¶ s /¶ Х ₂ = 2 L ₂₂ X ₂ + 2 L ₁₂ X ₁ = 2 J _2.

Звідси видно, що якщо в стаціонарному стані відкритої системи потоки J ₁ = 0 і J ₂ = 0, то виробництво ентропії приймає екстремальне значення. В силу додатної визначе­нос­ті квадратичної форми s = f (Х ₁, Х ₂) і пов’язаної з цим пози­­тив­ності других похідних

¶ ² s / ¶ Х ₁² = 2 L ₁₁ > 0, ¶ ² s / ¶ Х ₂² = 2 L ₂₂ > 0

цей екстремум є мінімум (див. розділ 1 в першому томі), тобто виробництво ентропії у стаціонарному стані приймає мінімально можливе значення.

Принцип мінімуму виробництва ентропії у стаціонар­ному стані відкритої системи має надзвичайно важливе значення. Він дає кількісний критерій, що дозволяє визна­чити напрямок розвитку (еволюції) відкритої системи будь-якої складності, а саме: якщо у відкритій системі відбува­ються незворотні процеси поблизу термодинаміч­ної рівно­ва­ги, то по зменшенню виробництва ентропії у такій систе­мі можна передбачити її перехід у стаціо­нар­ний стан. Іншими словами, критерієм наближення системи до стаціо­нар­­ного стану є від’ємність похідної від виробництва ентропії за часом, тобто виконання нерівності

¶ s /¶ t = ¶ ² S / ¶ t ² < 0. (7.18)

Теорема Пригожина пояснює також принципову стій­кість стаціонарних станів відкритих систем. Дійсно, якщо відкрита система самодовільно виходить з свого стаціонар­ного стану через флуктуації, то в ній відбувається збіль­шення швидкості виробництва ентропії (¶ s /¶ t > 0). Тоді через теорему Пригожина необхідним наслідком подібної зміни стану системи повинні бути такі процеси всередині системи, при яких вона знову повернеться до свого початкового стаціонарного стану. Принцип мінімуму вироб­ництва ентропії (теорема Пригожина) відіграє таку ж роль для відкритих систем, як принцип Ле Шательє-Брауна, що пояснює стійкість рівноважних систем: будь-який зовніш­ній вплив, який виводить систему з положення рівно­ваги, викликає в ній такі процеси, які прагнуть послаби­ти результат цих зовнішніх впливів.

7.3. Відкриті медико-біологічні системи, що знаходяться далеко від рівноваги (Елементи Синергетики)

Визначним досягненням у розвитку науки за останні роки стало розуміння фундаментальних основ і принципів самоорганізації у відкритих системах різної природи (фізич­них, хімічних, біологічних та ін.) поодаль від їх положення рівноваги. Зараз вже можна говорити про створення між­дисциплінарної області науки – синерге­ти­ки, котра вивчає загальні принципи самоорганізації і утворення просторових, часових і просторово-часових структур у відкритих нерівноважних системах. Самий факт утворен­ня нових структур (упорядкування) в процесі еволюції знаходиться в уявному протиріччі з другим началом термо­ди­наміки, з суті якого випливає, що з плином часу обов’язково відбувається зникнення структур (розупорядку­вання) з одночасним підвищенням сумарної ентропії всієї системи. В дійсності цього протиріччя, що виникло ще при співставленні другого начала термодинаміки і еволюційного принципу Дарвіна, не існує. Дійсно, утворення структур відбувається у відкритій підсистемі, котра завжди являє собою частину якої-небудь більшої системи. Якщо ця остання є замкненою системою, то дисипативні процеси, що у ній відбуваються, призводять до зростання ентропії усієї системи, але це не обов’язково викликає зростання ентропії кожної її частини.

Поява наприкінці 80-х років ХХ століття нового між­дис­циплі­нарного наукового напрямку, який отримав наз­ву “синергетика”, створила надійні засади для посилення інтеграційних тенденцій в науці та освіті. Як вже зазнача­лося, синергетика вивчає загальні принципи самоорганізації та утворення впорядкованих структур у відкритих нерівно­важ­них системах різної природи.

Термін “самоорганізація” визначає процеси (явища), які пов’язані із зміною структури і забезпеченням узгод­женої поведінки системи завдяки наявності внутрішніх зв’язків і контактів з зовнішнім середовищем. Здатністю до самоорга­нізації і утворення впорядкованих структур воло­діють системи живої та неживої природи, а також штучні системи.

Якщо до виникнення синергетики природничі та інші науки могли обходитися при використанні системного підходу до своїх об’єктів дослідження без врахування колективних ефектів, які призводять до утворення стійких структур в часі та просторі, то зараз послідовне вивчення цих проблем стало можливим на основі синергетичних методів. Особливо важливим і гострим постає питання щодо впорядкованості і самоорганізації при дослідженні енергетичних, екологічних, соціальних, політичних, меди­ко­-біологічних та інших глобальних проблем.

Існує досить велика кількість прикладів виникнення впорядкованих структур у системах різної природи:

у фізиці – це фазові переходи типу надпровідність і надплинність, конвективна нестійкість, стратти у газовому розряді, пентагональні структури у плазмі токамаків, коге­рентне випромінювання лазерів, солітони;

в астрофізиці – це червона пляма Юпітера, полярні сяйва;

у хіміі – періодична окислювально-відновлювальна реак­­ція Бєлоусова-Жаботинського;

у біології – періодичні процеси при гліколізі і фото­синтезі, морфогенетичні процеси у сімействі колективних амеб, коливальна динаміка чисельності популяцій;

у медицині – утворення ревербераторів (спіральних хвиль) у міокарді, спіральні хвилі і гексагональні структури у сітківці ока при депресії Леао;

в обчислювальній техніці – паралельні обчислення і надійність роботи ЕОМ,розпізнання образів;

у соціології і політології – формування суспільної думки, стійкість політичних систем;

в екології – розповсюдження епідемій (пандемій) і забруднення, а також велика кількість інших процесів.

Просте перерахування цих прикладів показує, що си­нер­­ге­тика тісно пов’язана з різними областями науки і техніки. Разом з тим це не означає, що вона використовує цілковито різнорідні поняття. Одним з головних аспектів світоглядного значення синергетики, найбільш цінним досяг­нен­ням синергетичного підходу якраз і є те, що в ній вдається обгрунтовувати нові “перші принципи”, що лежать в основі процесів самоорганізації і впорядкування або, більш загально кажучи, функціонування відкритих склад­них систем.

Одна з основних причин процесів самоорганізації та впорядкування формулюється у вигляді принципу, який можна було б назвати “ принципом узагальненого дарвініз­му”, а саме: просторові, часові та просторово-часові струк­тури в органічному та неорганічному світі виника­ють як прояв колективних коливань через флуктуації, їх взаємодію і відбір тих з них, які мають найбільший час затухання (релаксації). Такі найбільш тривало живучі про­цеси характеризуються змінними, які у синергетиці назива­ють­ся параметрами порядку, або керуючими модами (коливаннями).Саме вони визначають еволюцію системи, котра первісно мала дуже багато степенів свободи. В результаті колективної взаємодії різних мод у такій системі може виділитися лише декілька параметрів порядку. У цьому полягає зміст принципу підлеглості, котрий грає дуже важливу роль у синергетичних процесах.

Впорядковані структури, які утворюються у відкритих системах, далеких від рівноваги, поділяються на просторові, часові і просторово-часові (див. таблицю 1).

До просторових структур відносяться гексагональні комірки Бенара, згадані вище спіральні структури, що в певний момент часу можна спостерігати в реакції Бєлоу­сова-Жаботинського (БЖ), в колонії соціальних амеб (плаз­модії міксоміцети), в міокарді, на сітківці ока при депресії Лєао тощо.

Таблиця 7.1. Типи впорядкованих структур та їх параметри

Система	Тип структури	Просторова розмірність системи d	Характерні параметри
Реакція БЖ	Просторові структури, часові осциляції	d = 1, 2 d = 1, 2, 3	l» 1 см Т» 4 хв
Баретер (дріт із струмом в середовищі H2 і Не)	Просторові структури, автохвилі	d = 1, 2 d = 3	v» 1 см / с Т» 5 хв V» 10–50 мкм / с
Гліколіз	Часові осциляції, автохвилі	d = 3	Т» 5 хв
Плазмодій міксоміцети	Часові осциляції	d = 3	l» 1–100 мкм v» 1 мм / хв
Морфогенез	Просторові структури	d = 3	l» 1 мкм – 1 см
Сітківка ока	Спіральні хвилі	d = 3	l» 1 мкм v» 1 мм / хв

Часові структури спостерігаються в екологічних сус­пільствах (типовим прикладом є періодична з часом зміна чисельності популяцій в моделі “хижак-жертва”, що буде розглянута пізніше), часові осциляції при гліколізі і фотосинтезі тощо.

Просторово-часові структури мають місце при спосте­ре­женні реакції Бєлоусова-Жаботинського протягом досить тривалого часу (десятки хвилин), в динамічних процесах розповсюдження ревербераторів в міокарді, при поширенні нервового імпульсу в аксоні тощо.

Розглянемо деякі при­клади впорядкування та самоорга­нізації систем різної природи, про які згадувалося вище, більш докладно. Особливу увагу при цьому ми будемо звертати на схожість, певну подібність цих явищ. Ця схожість поведінки різно­маніт­них систем (наприклад, дивний перебіг періодич­ної хімічної реакції Бєлоусова-Жаботинського, утворення спі­раль­них структур в колонії соціальних амеб, поява ревербе­раторів у міокарді тощо) дає підстави говорити про так званий “ізоморфізм”, тобто подібність, явищ утворення впорядкованих структур у зовсім різних за своєю природою відкритих системах.

Періодична хімічна реакція Бєлоусова-Жаботинсько­го. У 1951 році радянський хімік Б.П. Бєлоусов відкрив нову реакцію, суть якої зво­ди­лася до того, що протя­гом декількох годин з пері­одом приблизно 4 хвилини змінював­ся колір хімічно реагуючих компонентів – від червоного до синього і навпаки, тобто ця реакція була періодичною. Лише через 8 років Б.П. Бєлоусо­ву вдалося надрукувати повідомлення про своє відкриття у реферативному журналі “Сборник рефератов по радиационной медицине” за 1958 г. Далі теоретичні аспекти цієї реакції розроблялися А.М. Жа­ботинським, а потім А.М. Заїкіним. Було з’ясовано, що хімічна реакція Бєлоусова є окисно-відновною, автоката­літичною реакцією, в якій беруть участь іони церія змінної валентності. Саме зміна валентності іонів церія від 3 до 4 (і навпа­ки) викликає зміну кольору реакції. У 1970 р. А.М. Заї­­кін і А.М. Жаботинський створили зручні умови для експериментального спостереження періодичної хімічної реакції, відкритої Б.П. Бєлоусовим, коли вилили розчин, в якому відбувалася ця реакція, тонким шаром в чашку Петрі. В такій системі, яка потім отримала назву хімічного реак­тор­­а Заїкина-Жаботинського, ними спостерігалися спіральні автохвилі хімічної активності – дуже ефектні природні структурні утворення (див. мал. 7.1). Якщо спіральні хвилі в чашці Петрі, що вивчалися А.М. Жабо­тинським та
А.М. За­ї­кі­ним, були двовимірні, то амери­канський біофізик А. Уінф­рі зміг спостерігати згодом тривимірні автохвилі хіміч­ної активності. Детальний хіміч­ний механізм періодичної реакції Бєлоусова був остаточно описаний (після перших робіт А.М. Жаботинського і А.М. Заїкіна) венгерським вченим Є. Керошем та американцями Р. Філ­дом і Р. Нойєсом. Останні розробили для цього спеціальну кінетич­ну модель, яка отримала назву “ орегонатор ” (за назвою американського штату Орегон, де мешкали автори цієї моделі). Інша кінетична модель “ брюсселятор ”, що мала також за мету пояснення перебігу періодичної автокаталі­тич­ної хімічної реакції Бєлоусова-Жаботинсь­кого, була створена І.Р. Пригожиним та Г. Ніко­лі­сом (назва моделі пов’язана, очевидячки, зі столицею Бельгії, де у Вільному Університеті Брюсселя працює лауреат Нобе­лівської премії І.Р. Пригожин).

Спіральні структури в колонії соціальних амеб. Ще один дивний приклад самоорганізації можна спостерігати у біологічному суспільстві, а саме – в колонії соціальних амеб (грибів-слизовиків Dictyostelium discoideum). Соціальними ці амеби звуться тому, що їм притаманна властивість до об’єднання (агрегації) у відповідні просторові структури, які мають спіральну форму. Виявляється, що коли амеби мають вдосталь їжі, вони існують як окремі і розвиваються індивідуально. Зовсім інша ситуація має місце, коли їжа закінчується. Тоді голодні амеби починають спонтанно та в імпульсному режимі виділяти спеціальну хімічну речовину – цАМФ (циклічний аденозинмонофосфат), який відіграє роль морфогена, тобто сприяє формоутворенню. Просторо­вий розподіл цього морфогена, точніше кажучи – гра­дієнт концентрації цАМФ, є просторовою міткою, яка дає можливість всім іншим амебам збиратися (агрегувати) у спіральні або концентричні структури. Таким чином, меха­нізм хімічної сигналізації виявився надзвичайно важливим в процесі формоутворення – морфогенезу. Принциповим є той факт, що структури в колонії соціальних амеб (мал. 7.2) виявляються подібними до автохвиль хімічної активності в реакції Бєлоусова-Жаботинського не лише за зовнішніми ознаками, але й тому, що ці спіральні утворення виникають у відкритих системах, які є активними за своєю природою, (іншими словами, збудливими через існуючий в них запас енергії).

Мал. 7.2. Спіральні структури в колонії соціальних амеб (фотографія Г. Гереша і Б. Хесса).

Спіральні структури (ревербератори) в міокарді. Вперше спіральні структури в міокарді були відкриті у 1946 році мексиканським кардіохірургом А. Розенблютом та математиком Н. Вінером, який по праву вважається “бать­ком” кібернетики. В той рік А. Розенблют запросив свого друга Н. Вінера відпочити з ним, тоді ж він і розповів Н. Вінеру про небезпечну серцеву хворобу – фібриляцію, яка дуже часто приводить до миттєвої зупинки серця. І вони разом створили модель, яка показала, що при порушенні механічної однорідності серцевого м’язу – міокарду (така неоднорідність має місце біля витоку вени з серця) з’являється спіральна хвиля електричного збудження міо­кар­ді­альних клітин. Ця спіральна хвиля отримала назву “ревербератор” (мал. 7.3). В подальшому вдалося довести, що ревербератори виникають не лише там, де порушується механічна неоднорідність, але і в точках, де з’являється неоднорідність по деякому прихованому параметру актив­ного середовища, яким є міокард, – періоду рефрактерності (див. нижче). Саме ці точки стають джерелами появи спіральних хвиль (ревербераторів). Прямим наслідком розмноження ревербераторів у міокарді є тахікардія (зміна нормального ритму роботи серця, а саме – збільшення частоти серцевих скорочень), а потім і фібриляція (хаотична пульсація серця). Розуміючи механізми появи ревербера­торів, можна вести свідомий пошук ліків та інших немеди­ка­ментозних методів запобігання фібриляції. Треба під­креслити, що хімічний реактор, де відбувається пері­одична реакція Бєлоусова-Жаботинського, є тим актив­ним анало­говим середовищем, в якому були зроблені успіш­­ні експе­ри­менти в цьому напрямку.

Мал. 7.3. Спіральна хвиля в серцевому м’язі кролика (з роботи
М. Алес­сі, Ф. Бонке, Ф. Шопмана; цифрами позначені моменти часу в мілісекундах).

Сучасні підходи до основних синергетичних проблем самоорганізації та впорядкування використовують потужні та добре апробовані методи, на які спираються а) теорія фазових перетворень, б) теорія нелінійних коливань і автохвиль, в) кінетичні моделі типу “брюсселятора ” і “ орегонатора ”, г) теорія катастроф та деякі інші підхо­ди. Нижче ми зупинимося більш детально на цих питаннях.

Розпочнемо з аналізу сучасного стану і досягнень теорії фазових переходів, яка складає (поряд з іншими методами) наукову і методичну основу синергетики. В критичних точках, які визначають процеси самоорганізації і впорядкування, слід приділяти особливу увагу флуктуацій­ним ефектам. В останні 2–3 десятиліття досягнуто великих успіхів у з’ясуванні ролі флуктуацій – відхилень різних термодинамічних параметрів (густини, концентрації, темпе­ра­тури, тиску тощо) від своїх середніх значень. Це стало можливим завдяки розвитку універсальних методів фізики фазових переходів і критичних явищ, заснованих на ідеях теорій масштабної інваріантності (скейлінгу) і ренорма­ліза­цій­ної групи, які були розвинуті в роботах О.З. Паташинсь­кого, В.Л. Покровського, М. Фішера, Л. Каданова, К. Віль­со­на та інших вчених.

Вихідним при побудові статистичної теорії фазових переходів є поняття параметра порядку та поля, спряженого йому в термодинамічному сенсі (див. таблицю 7.2). Іншою принципово важливою характеристикою систем, в яких відбуваються фазові переходи, є радіус кореляції, який визначає ту відстань, на якій флуктуації параметра порядку, тобто їх відхилення від середніх значень, впливають одна на другу (корелюють між собою). З наближенням до точки фазового переходу величина радіусу кореляції сильно зростає. Таким чином, різним системам поблизу їх фазових переходів стає притаманною колективна взаємодія флукту­ацій на великих відстанях та на значних часових інтервалах. Більш того, в поведінці цих систем з’являється універсаль­ність, тобто їх властивості (рівняння стану, різні рівноважні та кінетичні характеристики) описуються однаковими зако­нами, які називають масштабно-інваріантними або скейлін­го­вими. Цей результат є дуже сильним і принциповим через те, що дослідивши детально критичну поведінку однієї системи (наприклад, рідини поблизу її критичної точки), можна перенести отримані результати на систему іншої природи (наприклад, магнетик, надпровідник, хімічно ре­агу­ючу систему тощо) за допомогою своєрідного “слов­ника” (частина цього словника міститься у таблиці 7.2), який пов’язує між собою відповідні величини систем різної природи.

Таблиця 7.2. Параметри порядку та спряжені поля для різних систем

Система	Параметр порядку	Спряжене поле
Однокомпо­нентна рідина	Відхилення питомо­го об’єму від кри­тич­ного значення	Відхилення тем­пе­ратури і тиску від критичних значень
Двокомпонентна суміш поблизу критичного стану розшарування	Відхилення концентрації від критичного значення	Різниця хімічних потенціалів компонентів
Система з хіміч­ними реакціями	Степінь повноти (число обертів) хімічної реакції	Спорідненість хімічної реакції

Залежність рівноважних та кінетичних властивостей від температури, зовнішнього поля та інших змінних поблизу точок фазових переходів характеризується степеневими законами, де показники степенів мають назву критичних індексів. Величини критичних індексів залежать від просто­рової розмірності системи, розмірності (числа компонентів) параметра порядку, а також від радіуса потенціалу взаємо­дії. Системи, що мають однакові значення цих характе­рис­тик (наприклад, є тривимірними, із скалярним параметром порядку і короткосяжним радіусом міжмолекулярної вза­ємо­дії), потрапляють в один і той же “клас універсальності”. Це означає, що такі системи, як однокомпонентна рідина чи бінарна рідка суміш, магнетик в так званому наближенні Ізінга, хімічно реагуюча система, система “медіатор-рецеп­тор” у синаптичній щілині тощо, описуються поблизу своїх критичних точок однаковими степеневими скейлінговими законами.

Слід, взагалі кажучи, розрізняти рівноважні та нерівно­важніфазові переходи. Для рівноважних фазових перехо­дів, про які йшла мова вище, притаманна поступова зміна таких параметрів, як тиск, температура, хімічні потенці­али компонентів розчинутощо (ці параметри звуться ще інколи “польовими”), а також стрибкоподібна зміна таких парамет­рів, як об’єм, ентропія, концентрації компонен­тів розчинутощо (ці параметри звуться ще інколи “густин­ними”). У випадку нерівноважних фазових перехо­дів відбу­ва­ються різкі зміни в поведінці параметрів системи, які приводять до появи впорядкованих струк­тур. Ці процеси впорядкування і самоорганізації певною мірою нагадують рівноважні фазові переходи, де відбува­ється стрибко­подібна зміна “густин­них” параметрів. Проте, суттєвою особливістю нерівноваж­них фазових переходів (на відміну від рівноважних) є те, що вони відбуваються у відкритих системах, в яких через взаємо­дію з навколишнім середо­вищем має місце від’ємна зміна (тобто зменшення) ентропії. Звичайно, нерівноважні фазові переходи (їх звуть ще кінетичними фазовими переходами) є набагато різноманіт­нішими, ніж рівно­важні (термодинамічні) фазові переходи.

Розглянемо загальні властивості відкритих систем, в яких існують різноманітні процеси впорядкування. На від­мі­ну від рівноважних утворень, які можуть бути описані та досліджені відомими методами термодинаміки та статис­тич­ної фізики, в нерівноважних системах реалізуються так звані дисипативні структури (цей термін вперше був введений І.Р. При­го­жиним). Прикладом звичайних рівно­важ­них структур є рідина чи кристал, які існують в залежності від темпе­ратури, тиску та інших зовнішніх параметрів. Дисипативні структури утворюються завдяки потокам енергії, імпульсу, маси через границі системи. Типовим прикладом дисипа­тивної структури є так звані комірки Бенара, які виника­ють в реальній в’язкій ріди­ні при наявності в ній різ­ниці температури. Коли рі­ди­на підігрі­вається знизу (існує потік тепла через ниж­ню границю в такій відкритій системі), то рап­то­во при деякому спів­від­но­­шенні між товщиною шару рідини, різницею (гра­дієн­том) тем­пе­ра­тури, в’язкістю та інши­ми пара­мет­рами в раніше однорід­ній рідині виникають шес­ти­гранні утворення – комірки Бенара (див. мал. 7.4). Такий процес є проявом взаємодії флуктуацій (відхилень параметрів системи від серед­ніх значень). Роль взаємодії флуктуацій зростає і стає вирішальною поблизу критичних (біфуркаційних) точок. Ця взаємодія може стати настільки сильною, що існуюча раніше структура (в нашому випадку – однорідна рідина) руйнується. В ній з’являються більш впорядковані структу­ри, які й звуться дисипативними.

Мал. 7.5. Гексагональні структури, що виникли на поверхні соленого озера Юмі в Болівії (фото К. Хірояма з “Дейлі Юміурі”).

Дуже схожий до комірок Бенара вигляд мають гексаго­наль­ні структури, що спостерігаються на висушеній поверх­ні соленого озера Юмі в Болівії (мал. 7.5). Можливо, це також є проявом синергетичних процесів, що виникають при конвекційній нестійкості нерівноважної відкритої системи. Значна схожість цих гексагональних структур дивує і є безумовним викликом людському розуму, як і поширеність спіральних структур у зовсім різних за своєю природою системах.

Інший тип впорядкування відкритої системи – це автохвилі та автоколивання, що були розглянуті вище на прикладі хімічної реакції Бєлоусова-Жаботинського чи ревербераторів у міокарді. Відомими прикладами автохвиль і автоколивань є також хвиля розповсюдження потен­ціалу дії (зміни електричного потенціалу) вздовж нервового волокна (аксона), хвиля горіння, автоколивання при гліко­лізі та фотосинтезі тощо.

Загальні риси всіх цих процесів полягають у наявності наступних спільних особливостей середовищ, де вони від­бу­ва­ються:

1. Середовища, в яких розповсюджуються автохвилі або автоколивання, є активними. У звичайних пасивних сере­до­вищах, де мають місце пружні, теплові або електро­магнітні хвилі, енергія хвилі передається від джерела у віддалені точки з послабленням. На відміну від пасивних середовищ, в активних йдуть процеси накопичення енергії та її вивільнення при відповідному механізмі збудження.

2. Активні середовища мають три різні стани свого функціонування:

- стан спокою, який реалізується у відсутності зовніш­ніх впливів;

- стан збудження, який виникає при наявності зовніш­ніх впливів;

- стан рефрактерності, який виникає після зникнення збудження і протягом якого система повертається в стан спокою (якщо система перебуває у стані рефрактерності, вона не може бути переведена у стан збудження доти, доки вона не перейде у стан спокою).

3. Цікава властивість автохвильових процесів, в тому числі й ревербераторів в серцевому м’язі, пов’язана з так званим ефектом синхронізації. Суть цього ефекту полягає в тому, що якщо в активному середовищі діють декілька джерел коливань і хвиль з різними частотами, то найстій­кіши­ми є коливання і хвилі з максимальною частотою. Іншими словами, всі коливання з меншими частотами подавляються коливаннями з більшими частотами.

4. Властивості автохвиль в активних середовищах і хвиль у пасивних середовищах досить сильно різняться (див. таблицю 7.3). В цій таблиці, в останньому стовпчику, містяться відомості і про ще один тип впорядкованих структур – солітони (поодинокі хвилі).

Таблиця 7.3. Порівняння властивостей автохвиль в актив­них середовищах, хвиль у пасивних середовищах і солітонів

Властивість	Автохвилі в актив­них сере­до­вищах	Лінійні хвилі у па­­сив­­них сере­до­вищах	Солітони в кон­сер­ватив­но­му нелінійному середовищі
1. Дисипація (втра­та) енергії	велика	мала	немає
2. Компенсація втрат енер­гії	має місце	немає	немає
3. Збереження швидкості	має місце	немає	має місце
4. Принцип суперпозиції	Немає	має місце	немає
5. Анігіляція при зіткненні	має місце	немає (в загаль­ному випадку)	немає
6.Інтерференція	немає	має місце	немає
7. Дифракція	має місце	має місце	має місце
8. Відбивання	немає	має місце	має місце

Вперше солітон був відкритий С. Расселом у 1834 році досить випадково, як часто й робляться великі відкриття. С. Рассел вивчав в той час рух барж різних форм, що мали різні швидкості, з метою надати рекомендації щодо будівництва барж у зв’язку з переходом від кінської тяги до парової. Саме проводячи ці спостереження, він відкрив солітон, про що так написав у своєму звіті “Доповідь про хвилі”: “Я слідкував за рухом баржі, яку швидко тягнула вздовж вузького каналу пара коней, коли баржа раптово зупини­лася; але маса води, яку баржа привела в рух, не зупинилася. Замість цього вона зібралася біля носу судна в стані божевільного руху, потім раптово залишила його позаду і покотилася вперед з дуже великою швидкістю, прийнявши форму великого одинокого підвищення, тобто водяного пагорба, який продовжував свій шлях вздовж каналу, не змінюючи своєї форми та не знижуючи швидкості”. Зараз солітони відкриті у багатьох середовищах – в магнетиках, надпровідниках, живих системах, атмосфе­рах Землі та планет. Досить ймовірно, що солітони мали важливе значення для процесу еволюції Всесвіту. Хромоди­наміка, сучасна теорія елементарних частинок, передбачає появу (поки що не відкритих експериментально) солітонів, які можуть нести магнітний заряд. Таким чином, справедли­вим є твердження, що наука про солітони інтенсивно розвивається в останні роки.

Зрозуміло, що методи синергетики повинні добре працювати для тих випадків, коли мова йде саме про кооперативну поведінку систем різної природи з утворен­ням впорядкованих структур. Нижче ми розглянемо при­клади застосування синергетичних методів до деяких со­ціаль­них і політичних процесів.

Перш за все постає питання: чи можливо взагалі сподіватися на успіх при застосуванні подібних методів до об’єктів, які складаються з великої сукупності індивіду­умів? Дійсно, поведінка окремого індивідуума в складних ситуаціях, як правило, непередбачена, вона визначається дуже великою кількістю часто випадкових факторів. Тому зрозуміло, що скоріш за все неможливо створити детермі­новану математичну модель такої поведінки окремої люди­ни. Разом з тим, очевидно, можна сподіватися на досить точне передбачення середньостатистичної поведінки окре­мо­го представника даної соціальної групи. Саме в цьому випадку, тобто на рівні статистичних закономірностей, стають корисними математичні методи, що спираються на досягнення сучасної синергетики.

Спочатку зупинимося на застосуванні методів синерге­ти­ки до соціології, зокрема на процесі формування гро­мадсь­кої думки. Розглянемо приклад, який пов’язаний з цим процесом і відомий як експеримент С. Еша. Нехай лю­дині показують декілька предметів різної довжини (мал. 7.6).

Питання, на яке треба дати відповідь, таке: “Як спів­відно­сяться між собою дов­жини першого і останнього відрізків?” Як виявляється і це цілком зрозуміло, від­по­відь залежить від того, чи відомі людині резуль­тати попереднього опитування. Так, наприклад, якщо в результаті попереднього опи­тування 60% опитува­них відповіли, що останній відрізок довший за перший, то людина з більшою ймо­вір­ністю підтвердить цей вис­новок. В дійсності обидва відрізки мають однакові довжини.

Мал. 7.7. Ефект гістерезису (з книги Г. Хакена “Синергетика”).

Іншим цікавим прикладом подібної зміни точки зору є особливості процесу зорового сприйняття, що звуться ефектом гістерезису (мал. 7.7) та ефектом порушеної симет­рії (мал. 7.8). В першому випадку зорове сприйняття об’єкту

залежить від напрямку, в якому розглядається цей малюнок, тоді як в другому результат залежить від того, на чому фокусується увага – на центральній білій частині малюнка, де чітко видно вазу, або на бокових чорних частинах, де видно два обличчя.

Універсальні методи термодинаміки та синергетики можуть бути успішно застосо­вані і до вивчення політич­них процесів, зокрема пробле­ми стійкості політичних сис­тем. Цікаві результати в цьому напрямку були отрима­ні визначним українським фі­зи­ком і політичним діячем І.Р. Юхновським. Як вже вказува­ло­ся раніше, мірою впорядко­ва­ності будь-якої системи, в тому числі і політичної, є прита­манна їй ентропія S (або негентропія N). Чим менша величина ентропії S (або чим вище значення негентропії N, оскільки негентропія дорів­нює ентропії з протилежним знаком: N = – S), тим більш впо­ряд­кованою є система. Таким чином, переходу від менш досконалої до більш досконалої політичної системи відпо­відає зменшення ентропії або збільшення негентропії.

Стійкість будь-якої політичної системи визначається режимом її функціонування. І.Р. Юхновський пропонує розглянути такі два граничних режими функціонування політичних ситем:

1. Політична система є відкритою в термодинамічному розумінні цього терміну. Це означає, що система вільно обмінюється з навколишнім середовищем всім, чим можна обмінюватись – перш за все енергією, ентропією (негентро­пією) та інформацією.

Тут слід зауважити, що а) ентропія і інформація визначаються однаковим чином; б) ентропія та інформація не можуть бути зведені до енергії.

Щоб краще зрозуміти останнє твердження, досить пригадати відомий приклад з киданням двох монет з однакової висоти. Нехай обидві монети однакові за інформацією, що в них міститься: на них з одного боку викарбований один і той же герб, а на другому боці – однакова цифра. Проте, вони мають зовсім різні маси. Тоді, коли ми їх одночасно кидаємо з однакової висоти, виділяється, звичайно, зовсім різна енергія, оскільки маси монет є різними (нагадаємо, що ця енергія дорівнює добутку маси на прискорення вільного падіння і на висоту). Що стосується інформації, яка отримується при киданні цих монет, то вона є абсолютно однаковою і дорівнює 1 біту, оскільки реалізується один варіант з двох можливих (герб або цифра), тобто 0 або 1.

2. Політична система існує в режимі, ізольованому від зовнішнього середовища. Звичайно, не існує абсолютно ізольованих політичних і соціальних систем. Але є прикла­ди, коли реальні системи існували в стані, який можна вважати досить наближеним до ізольованого стану (наприк­лад, колишній СРСР). Фізично стан подібної ізоляції відпові­дає адіабатичній ситуації, коли не відбувається теплообміну системи з навколишнім середовищем. Тоді, як випливає з першого закону термодинаміки (див. формулу (7.1), будь-яка робота виконується за рахунок внутрішньої енергії системи. Це обов’язково призводить до зростання ентропії (чи змен­шен­ня негентропії), тобто до зменшення впорядкованого стану системи і, врешті-решт, до її деградації. Загальні перші принципи природи і суспільства, зокрема другий закон термодинаміки, дозволяють підтвердити цей важливий висновок щодо функціонування політичної системи, яка є ізольованою, а саме: а бсолютно детермінований шлях до розпаду (тобто такий процес, який відбувається з ймовір­ністю, що дорівнює одиниці) є характерною рисою еволюції всіх ізольованих систем будь-якої природи. Розпад СРСР є одним з останніх підтверджень цього висновку.

Ще один дуже цікавий напрямок досліджень, який має принципове значення для різних галузей знань і описує стрибкоподібні зміни поведінки систем різноманітної при­ро­ди – це сучасна теорія катастроф. Розглянемо її основні принципи та ідеї.

У 1972 році в Нью-Йорку вийшла з друку давно анонсована до цього книга французького математика-тополога Р. Тома “Структурна стійкість і морфогенез”. Вже сама назва цієї книги вказувала на її достатньо універсаль­ний характер. Дійсно, Р. Том поставив перед собою задачу створення такого варіанту математичної теорії динамічних (еволюціонуючих) систем, який бувби придатним для біології та інших галузей науки, досить далеких від математики і який в цьому сенсі не є настільки точним, як фізика, хімія і ряд інших наук. Основна ідея Р. Тома полягала в тому, щоб застосувати теорію динамічних систем з класифікацією особливих точок за А. Пуанкаре для аналізу як структурно-стійких станів, нечутливих до малих збурень (змін параметрів системи), так і різких (розривних) змін станів системи при плавній зміні параметрів, які називаються катастрофами.

По своїй суті знаходження особливих точок за методом А. Пуанкаре зводиться до відшукання стаціонарних, тобто тих, що не залежать від часу, розв’язків системи диферен­ціальних рівнянь для параметрів порядку, які визначають поведінку досліджуваного об’єкту. Особливі точки знахо­дять­ся згідно з розв’язком відповідної системи диферен­ціальних рівнянь відносно так званих збурень по відно­шенню до стаціонарних розв’язків. В залежності від знаку дійсної (Re) та уявної частини (Im) коренів l характе­ристичного рівняння особливі точки поділяються на стійкі та нестійкі вузли і фокуси, сідла та центри, або граничні цикли (див. таблицю 7.4).

Мал. 7.9 ілюструє можливі види особливих точок для динамічних систем з двома параметрами порядку згідно до класифікації А. Пуанкаре. Як бачимо з відповідних фазових портретів системи, для стійкого вузла характерний рух точки, що зображує динамічну еволюцію системи, до стаціонарного стану (особливої точки) як по першому, так і по другому параметру порядку. У випадку нестійкого вузла система віддаляється від особливої точки по обох парамет­рах порядку. Якщо корені характеристичного рівняння мають різні знаки, тобто особлива точка – сідло, то така особлива точка є теж нестійкою, але лише по одному з параметрів порядку.

Таблиця 7.4. Типи особливих точок (класифікація Пуанкаре)

Тип особливої точки	Значення коренів
Дійсна частина	Уявна частина
Стійкий вузол	Re l 1< 0 Re l 2< 0	Іm l 1 = 0 Im l 2 = 0
Нестійкий вузол	Re l 1 > 0 Re l 2 > 0	Іm l 1 = 0 Im l 2 = 0
Сідло	Re l 1 < 0 Re l 2 > 0	Іm l 1 = 0 Im l 2 = 0
Стійкий фокус	Re l 1 < 0 Re l 2 < 0	Іm l 1 ¹ 0 Im l 2 ¹ 0
Нестійкий фокус	Re l 1 > 0 Re l 2 > 0	Іm l 1 ¹ 0 Im l 2 ¹ 0
Центр (граничний цикл)	Re l 1 = 0 Re l 2 = 0	Іm l 1 ¹ 0 Im l 2 ¹ 0

Якщо для стійкого і нестійкого вузлів та сідла характер­на неперіодична поведінка, то для всіх інших особливих точок притаманна періодична (коливальна) поведінка дина­міч­ної системи. Для стійкого фокусу фазовий портрет зображується у вигляді спіралі, що накручується на особ­ливу точку – це відповідає затухаючим коливанням в часі для обох параметрів порядку систем. Для нестійкого фокусу має місце зворотна ситуація – спіраль розкручуєть­ся, що відповідає коливанням параметрів порядку, амплі­туда яких зростає з часом. І, нарешті, в останньому випадку центра (граничного циклу) в системі відбуваються незату­хаючі коливання (автоколивання) параметрів порядку.

Мал. 7.9. Фазові портрети можливих видів особливих точок

Зауважимо, що стійкі та нестійкі вузли та фокуси, а також сідла характеризують “грубі” системи, тоді як граничний цикл (центр) – “негрубі”. Поняття “груба” і “негруба” системи були вперше введені завдяки досліджен­ням нелінійних динамічних систем, які біли виконані визначним математиком О.О. Андроновим та його учнями. Під “грубою” системою мається на увазі така система, яка знаходиться поблизу свого рівноважного стану і яка не може бути виведена зі стану рівноваги при зміні параметрів. Очевидячки, що “негруба” система легко виводиться за рахунок незначної зміни параметрів зі свого стану рівно­ваги, який є нестійким. Зрозуміло, що чисто математичне (точніше сказати – топологічне) поняття “грубості” і “негрубості” має надзвичайно широке застосування в пси­хо­логії, економіці, політиці та інших областях при вивченні стійкості цих систем.

Повертаючись до теорії катастроф Р. Тома, можна сказа­ти, що вона являє собою сучасний розвиток теорії стійкості динамічних систем А.М. Ляпунова (поняття стій­кос­ті взагалі є дуже важливою характеристикою дина­міч­ної системи) і теорії особливостей Х. Уітні, які узагаль­нюють собою відомі в класичному математичному аналізі досліджен­ня на екстремум. Недарма створення теорії катастроф порівнювалося в 70-х роках – роках її виникнен­ня – з переворотом в математиці, пов’язаним зі створенням І. Ньютоном і Г.В. Лейбніцем диференціального і інтеграль­ного числень.

Дослідження з нелінійної динаміки мали дуже великий вплив на формування основних ідей і принципів теорії катастроф. Так, значним результатом цих досліджень став суттєвий розвиток уявлень про біфуркації (термін “біфурка­ція” буквально означає “роздвоєння”), тобто про якісні перебудови динамічних систем.

Нові важливі результати в теорії біфуркацій належать визначному російському математику В.І. Арнольду, який незалежно від Р. Тома довів деякі принципові теореми в теорії катастроф. Р. Том, який вважається автором теорії катастроф, від­дає пріоритет у винаході терміну “теорія катастроф” анг­лійсь­­кому математику – топологу К. Зіману. Саме К. Зіма­ну присвятили свою прекрасну монографію “Теорія катастроф та її застосування” Т. Постон і І. Стюарт, написавши в передмові: “Кристоферу Зіману, біля ніг якого ми сидимо, на плечах якого ми стоїмо”. Дивним є той факт, що матема­тик К. Зіман придумав так звану “машину катастроф” – досить простий пристрій, який легко може бути виготовлений і який дозволяє дуже наочно спостерігати різкі зміни поведінки машини при незначній варіації параметрів. Опис “машини катастроф” можна знайти у чудовій, невеличкій за об’ємом книзі В.І. Арнольда “Теорія катастроф”, в якій подається, з одного боку, науково-попу­ляр­не, а з іншого, дуже глибоке і витончене викладення основних принципів теорії катастроф.

Представляють інтерес висловлені В.І. Арнольдом загаль­ні міркування з точки зору теорії катастроф щодо тенденцій (“принципів”) переходу до “кращого стану” системи довільної природи (фізичної, хімічної, біологічної, соціальної, політичної тощо).

1. “ Принцип тендітності гарного (стійкого) ”:систе­ма, що знаходиться на границі стійкості, з більшою ймовір­ністю переходить в нестійкий стан. Це пов’язане з досить зрозумілим з інтуїтивної точки зору правилом: “гарні” (зокре­ма, стійкі) системи повинні задовольняти декільком (інколи багатьом) вимогам, тоді як “погані” можуть мати хоча б один недолік, тобто між “гарними” і “поганими” системами в цьому сенсі відсутня симетрія.

2. “ Принцип погіршення на шляху до кращого ”: в процесі послідовної еволюції системи до кращого стійкого стану з поганого нестійкого відбувається погіршення, до того ж на початковій стадії процесу переходу до кращого стану швидкість погіршення зростає. Максимум протидії на шляху до кращого реалізується до досягнення найгіршого стану. Далі в цьому самому поганому стані протидія зменшується і може повністю зникнути, коли система знаходиться вже достатньо близько до кращого стану.

3. “ Принцип стрибкоподібного покращення ”: якщо система стрибком, а не в процесі поступової еволюції, проскакує найгірший стан і опиняється поблизу гарного, то далі вона самодовільно рухається в бік цього гарного стану.

4. “ Принцип еволюції до катастрофи ”: нехтування основними законами природи і суспільства, які спираються на ефекти зворотного зв’язку (в суспільному житті та політиці – це, насамперед, особиста відповідальність за прийняті рішення), веде до катастрофи.

Таким чином, підводячи підсумок короткого огляду сучасних синергетичних процесів у природничих та сус­піль­них науках, можна сказати, що значення синергетики для освіти і наукипов’язане з інтеграцією знань з різних дисциплін, посиленням міжпредметних зв’язків, вико­ристан­ням цього нового міждисциплінарного напрямку для глибокого розуміння єдності законів природи і суспільства, а отже розвитку особистості як кінцевої мети всієї освітянської діяльності.