Модифицированный метод Эйлера.
Модифицированный метод Эйлера позволяет уменьшить погрешность на каждом шаге до величины
Аппроксимируем вторую производную с помощью отношения конечных разностей:
Подставляя это соотношение в (6.3) и пренебрегая членами порядка
Полученная схема является неявной, поскольку искомое значение Сначала по формуле Эйлера (6.2) вычисляют первое приближение
Затем находится уточненное окончательное значение
Такая схема решения называется модифицированным методом Эйлера и имеет второй порядок точности. Пример 6.2. Решить задачу Коши модифицированным методом Эйлера для дифференциального уравнения
Решение. По формуле (6.5) вычислим первое приближение
Используя формулу (6.6), находим окончательное значение в точке
Аналогично вычисляются последующие значения функции в узловых точках
Сеточную функцию записываем в виде таблицы
Программа решения задачи Коши модифицированным методом Эйлера отличается от приведенной на рис. 6.2 заменой отмеченных строк на следующие: 1 y1 = y + h*f(x,y) y = y + h*(f(x,y)+f(x+h,y1))/2 Пример 6.3. Решить задачу Коши модифицированным методом Эйлера с помощью программы Excel для дифференциального уравнения
|
вместо 
в обычном методе (6.2). Запишем разложение функции в ряд Тейлора в виде:
(6.3)
(6.4)
входит в обе части соотношения (6.4), но можно построить приближенное решение с использованием двух итераций.
(6.5)
(6.6)
на отрезке 
с шагом 
с шагом 
