Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод Эйлера. Одним из простейших разностных методов решения обыкновенного дифференциального уравнения является метод Эйлера. Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения первого порядка:
на отрезке На данном отрезке выбираем некоторую совокупность точек Конечно-разностная аппроксимация прозводной
Так как
с помощью которой значение сеточной функции
Программа решения задачи Коши методом Эйлера дана на рис. 6.2.
Пример 6.1. Решить задачу Коши методом Эйлера для дифференциального уравнения
Решение. По формуле (6.2) вычислим значение
Аналогично вычисляются последующие значения функции в узловых точках
Сеточную функцию записываем в виде таблицы
|
(6.1)
.
с равностоящими узлами, т.е. 
.
, получаем формулу Эйлера
, 
, (6.2)
в любом узле 
вычисляется по ее значению 
в предыдущем узле 
. На каждом шаге погрешность имеет порядок 
. В конце интервала погрешность 
, т.е. метод Эйлера имеет первый порядок точности. На рис. 6.1 дана геометрическая интерпретация метода Эйлера.
на отрезке 
с шагом 
