Интерпретация. Интерпретация I (прикладного) исчисления предикатов K с областью интерпретации (или но­сителем) М — это набор функций

Интерпретация I (прикладного) исчисления предикатов K с областью интерпретации (или но­сителем) М — это набор функций, которые сопоставляют:

- каждой предметной константе а элемент носителя I(a), I(a) М;

- каждому n - местному функтору f операцию I(f) на носителе, I(f): М ⁿ М;

- каждому n - местному предикату Р отношение I(P) на носителе, I(P) М ⁿ.

Пусть х = (x ₁ ,...) — набор (последовательность) переменных (входящих в формулу), a s = (s ₁ ,...) — набор значений из М. Тогда всякий терм f(t ₁ ,...,t_n) имеет значение на s (из области М), то есть су­ществует функция : {t} М, определяемая следующим образом:

(a)=I(a), (x_i)=s_i, (f(t ₁ ,...,t_n))=I(f)( (t ₁ ),..., (t_n)).

Всякий атом P(t₁,...,t_n) имеет на s истинностное значение s*(P), определяемое следующим обра­зом:

(P(t₁,...,t_n)): = ( ((t₁),..;, (t_n)) I(P).

Если (Р) = И, то говорят, что формула Р выполнена на s, и тогда можно записать очевидные выражения:

- формула А выполнена на s тогда и только тогда, когда формула А не выполнена на s;

- формула А В выполнена на s тогда и только тогда, когда формула А не выполнена на s или формула В выполнена на s.

- формула x_i А выполнена на s тогда и только тогда, когда А выполнена на любом наборе s', отли­чающемся от s, возможно, только i -м компонентом.

- формула x_i А выполнена на s тогда и только тогда, когда А выполнена на каком-либо наборе s', отличающемся от s, возможно, только i -м компонентом.

Формула называется истинной в данной интерпретации I, если она выполнена на любом наборе s элементов М. Формула называется ложной в данной интерпретации I, если она не выполнена ни на одном наборе s элементов М. Интерпретация называется моделью множества формул Г, если все формулы из Г истинны в дан­ной интерпретации.

Всякая замкнутая формула истинна или ложна в данной интерпретации. Открытая (то есть не замкнутая) формула А(х, у, z,...) истинна в данной интерпретации тогда и только тогда, когда ее замыкание x у z ^… A(x,y,z,... ) истинно в данной интерпретации. Это обстоятельство объяс­няет, почему собственные аксиомы прикладных теорий обычно пишутся в открытой форме.