И аналитической геометрии. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ1.Задание (условие задачи)2

Федеральное государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Сибирский федеральный университет»

ИНСТИТУТ ЦВЕТНЫХ МЕТАЛЛОВ И ЗОЛОТА

МАТЕМАТИКА

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Для студентов-заочников всех специальностей

Красноярск

СФУ 2012

УДК 511

Высшая математика: Контрольные задания для студентов-заочников всех специальностей академии / Сост. А. Т. Автухова, С.И. Осипова (переработано и дополнено); СФУ. - Красноярск, 2012. - 41 с.

 

Элементы векторной алгебры

и аналитической геометрии

 

1 – 10. Даны векторы (а ₁; а ₂; а ₃), (b ₁; b ₂; b ₃), (c ₁; c ₂; c ₃) и (d ₁; d ₂; d ₃) в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.

1.	(2; 1; 3),	(3; –2; –1),	(4; 1; 2),	(9; 0; 4).
2.	(3; 1; 4),	(2; 1; –2),	(–1; 5; –7),	(7; 2; 2).
3.	(4; 2; 1),	(–1; 3; 2),	(3; –1; 1),	(12; 0; 1).
4.	(1; 2; 3),	(2; 3; 5),	(–1; 3; –2),	(2; –1; 5).
5.	(5; 7; 1),	(–2; 1; –4),	(3; 2; 1),	(8; 1; 6).
6.	(2; 1; 3),	(–5; 3; –2),	(4; 2; 1),	(17; 2; 10).
7.	(4; 1; 5),	(3; –5; 1),	(1; 2; –3),	(6; 5; –1).
8.	(1; 3; 4),	(–2; 1; 3),	(2; –7; 0),	(3; 3; 15).
9.	(6; 1; 3),	(2; 3; –1),	(–1; 2; –2),	(8; 8; –3).
10.	(6; 3; 1),	(–1; 3; 4),	(2; –1; 9),	(–2; –10; 0).

 

11 – 20. Даны координаты вершин пирамиды А ₁ А ₂ А ₃ А ₄. Найти:
1) длину ребра А ₁ А ₂; 2) угол между ребрами А ₁ А ₂ и А ₁ А ₄; 3) угол между ребром А ₁ А ₄ и гранью А ₁ А ₂ А ₃; 4) площадь грани А ₁ А ₂ А ₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А ₁ А ₂; 7) уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А ₄ на грань А ₁ А ₂ А ₃. Сделать чертеж.

11. А ₁ (2; 1; –4), А ₂(1; –2; 3), А ₃(1; –2; –3), А ₄(5; –2; 1).

12. А ₁ (2; –1; 3), А ₂ (–5; 1; 1), А ₃(0; 3; –4), А ₄(–1; –3; 4).

13. А ₁ (5; 3; 6), А ₂ (–3; –4; 4), А ₃(5; –6;8), А ₄(4; 0; –3).

14. А ₁ (5; 2; 4), А ₂(–3; 5; –7), А ₃(1; –5; 8), А ₄(9; –3; 5).

15. А ₁ (7; –1; –2), А ₂(1; 7; 8), А ₃(3; 7; 9), А ₄(–3; –5; 2).

16. А ₁ (–2; 3; 4), А ₂(4; 2; –1), А ₃(2; –1; 4), А ₄(–1; –1; 1).

17. А ₁ (0; 4; –4), А ₂(5; 1; –1), А ₃(–1; –1; 3), А ₄(0; –3; 7).

18. А ₁ (0; –6; 3), А ₂(3; 3; –3), А ₃(–3; –5; 2), А ₄(–1; –4; 0).

19. А ₁ (2; –1; 3), А ₂(–5; 1; 1), А ₃(0; 3; –4), А ₄(–1; –3; 4).

20. А ₁ (2; 1; –4), А ₂(1; –2; 3), А ₃(1; –2; –3), А ₄(5; –2; 1).

21. Даны вершины треугольника: А (1; –1), В (–2; 1), С (3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

22. Даны вершины треугольника: А (2; 1), В (–1; –1), С (3; 2). Составить уравнения его высот.

23. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами А (3; 2), В (5; –2), С (1; 0).

24. Даны вершины треугольника: А (1; 4), В (3; –9), С (–5; 2). Определить длину его медианы, проведенной из вершины В.

25. Даны три вершины А (2; 3), В (4; –1), С (0; 5) параллелограмма АВСD. Найти его четвертую вершину D, противоположную вершине В.

26. Даны вершины четырехугольника: А (–2; 14), В (4; –2), С (6; –2), D (6; 10). Определить точку пересечения его диагоналей АС и ВD.

27. Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8 х + 3 у + 1 = 0, 2 х + у – 1 = 0 и уравнение одной из его диагоналей 3 х + 2 у + 3 = 0. Определить координаты вершины этого параллелограмма т.р. (–5, 13).

28. Найти точку Q, симметричную относительно прямой
2 х – 3 у – 3 = 0.

29. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х – 2 у = 0,

х – у – 1 = 0 и точка пересечения его диагоналей М (3; –1). Найти уравнения двух других сторон параллелограмма.

30. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5 х + 2 у –7= 0,

5 х + 2 у – 36 = 0 и уравнение его диагонали 3 х + 7 у – 10 = 0. Составить уравнения остальных сторон этого прямоугольника.

 

31 – 40. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, построить график кривой.

31. x ² + у ² – 4 x + 2 у = 4; 32. x ² – у ² – 4 у – 13 = 0;

33. x ² – 4 x + 2 у + 2= 0; 34. x ² + 4 x + 4 у ² + 8у – 5 = 0;

35. x ² – 6 у ² – 12 x + 36 у – 54 = 0; 36. 2 x ² + 4 x + 18 у ² – 16= 0;

37. 2 x ² + 2 у ²+ 4 x – 8 у – 8 = 0; 38. – x + у ² + 2 у = 0;

39. 3 x ² + 5 у ² + 12 x – 10 у + 2 = 0; 40. 4 x ² – 3 у ² – 8 x – 6 у – 11 = 0.

 

41 – 50. Линия задана уравнением r = r (j) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам начиная от j=0 до j=2p и придавая j значения через промежутки p/8; 2) по рисунку определить тип линии.

41.	42.
43.	44.
45.	46.
47.	48.
49.	50.