Основные элементы алгебры логики

Анализ комбинационных устройств удобно проводить с помощью алге­бры логики, оперирующей только с двумя понятиями: истинным
(логическая 1) и ложным (логический 0). В результате, функции, отображающие информацию, принимают в каждый момент времени только значения 0 или 1. Такие функции называют логическими, а сигналы (входные и выходные переменные) – двоичными (бинарными). Схемные элементы, при помощи которых осуществляется преобразование поступающих на их входы двоичных сигналов и непосредственное выполнение предусмотренных логических операций, называют логическими устройствами.

В общем случае логическое устройство может иметь n входов и m выходов. Рассматривая входные сигналы х₁, х₂, …, х_n в качестве аргументов, можно соответствующие выходные сигналы представлять в виде функции
у_i = f (х₀, х₁, х₂, …, х_n) с помощью операций алгебры логики.

Функции алгебры логики (ФАЛ), иногда называемые переключатель­ными функциями, обычно представляют в алгебраической форме (в виде ма­тематического выражения), например y_i = (x ₀ Ù x ₁) Ú (x ₁ Ù x ₂), или в виде таблиц истинности (комбинационных таблиц).

Таблица истинности содержит всевозможные комбинации (наборы) бинарных значений входных переменных с соответствующими им бинарными значениями выходных переменных; каждому набору входных сигналов соответствует определенное значение выходного сигнала - значение логической функции у_i. Максимальное число возможных различных наборов (строк) зависит от числа входных переменных п и равно 2 ^п.

В булевой алгебре выделяют три основные функции: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание. Остальные функции являются производными от приведенных выше.

Основные логические операции состоят из следующих элементарных преобразований двоичных сигналов:

· логическое сложение или дизъюнкция, обозначаемое символом "Ú;" (или "+") и называемое также опера­цией ИЛИ. При этом число аргументов (слагаемых х) может быть любым. Эта операция для функции двух переменных x ₁ и x ₂ описывается в виде логической формулы

Это значит, что у истинно (равно 1), если истинно хотя бы одно из слагаемых x ₁ или x ₂. И только в случае, когда все слагаемые х равны 0, результат логического сложения у также равен 0. Условное обозначение, таблица истинности и другие показатели этой логической функции приведены во втором столбце табл. 1;

· логическое умножение или конъюнкция, обозначаемое символом "Ù;" (или "×") и называемое также операцией И. При этом число аргументов (сомножителей х) может быть любым. Эта операция для функции двух переменных x ₁ и x ₂ описывается в виде логической формулы

Это значит, что у истинно (равно 1), если истинны сомножители x ₁ и x ₂. В случае, если хотя бы один из сомножителей равен 0, результат логического умножения у равен 0. Условное обозначение, таблица истинности и другие показатели логической функции И приведены в третьем столбце табл. 1;

· логическое отрицание или инверсия, обозначаемое чёрточкой над переменной и называемое операцией НЕ. Эта операция записывается в виде

.

Это значит, что у истинно (равно 1), если х ложно (равно 0), и наоборот. Очевидно, что операция у выполняется над одной переменной х и её значение всегда противоположно этой переменной (см. четвертый столбец табл. 1).

 

Таблица 1

Формы отображения основных логических функций
Наименование функции	Дизъюнкция	Конъюнкция	Инверсия
Символическая	Ú или +	Ù или ·
Буквенная	ИЛИ	И	НЕ
Условная графическая
Аналитическая
Табличная (истинности)	х 1 х 2 у	х 1 х 2 у	х у
Контактная
Схемотехническая
Международное обозначение (Electronics Workbench)

 

Основные логические операции ИЛИ, И и НЕ позволяют аналитически описать, а логические элементы ИЛИ (дизъюнктор), И (конъюнктор) и НЕ (инвертор) - реализовать комбинационное устройство любой степени слож­ности, т. е. операции и обладают функциональной полнотой и составляет функционально полный набор.

В качестве примера рассмотрим функцию неравнозначности у двух переменных х ₁ и х ₂, принимающая значение 1 при х₁ ¹ х₂ и значение 0 при х ₁ = х ₂ = 0 или при х ₁ = х ₂ = 1, т. е. . Операцию неравнозначности чаще называют суммированием по модулю 2 и обозначают

Примеры контактной и простейшей схемной реализаций дизъюнктора, конъюнктора и инвертора приведены в табл. 1.