ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

 

1. Найти координаты вектора x в базисе {a,b,c}:

 

Указание: при решении системы применить правило Крамера.

 

1.1. x ={ -2, 4, 7 }, a ={ 0, 1, 2 }, b ={ 1, 0, 1 }, c ={ -1, 2, 4 }.

 

1.2. x ={ 6, 12, -1 }, a ={ 1, 3, 0 }, b ={ 2, -1, 1 }, c ={ 0, -1, 2 }.

 

1.3. x ={ 1, -4, 4 }, a ={ 2, 1, -1 }, b ={ 0, 3, 2 }, c ={ 1, -1, 1 }.

 

1.4. x ={ -9, 5, 5 }, a ={ 4, 1, 1 }, b ={ 2, 0, -3 }, c ={ -1, 2, 1 }.

 

1.5. x ={ -5, -5, 5 }, a ={ -2, 0, 1 }, b ={ 1, 3, -1 }, c ={ 0, 4, 1 }.

 

1.6. x ={ 13, 2, 7 }, a ={ 5, 1, 0 }, b ={ 2, -1, 3 }, c ={ 1, 0, -1 }.

 

1.7. x ={-19, -1, 7 }, a ={ 0, 1, 1 }, b ={ -2, 0, 1 }, c ={ 3, 1, 0 }.

 

1.8. x ={ 3, -3, 4 }, a ={ 1, 0, 2 }, b ={ 0, 1, 1 }, c ={ 2, -1, 4 }.

 

1.9. x ={ 3, 3, -1 }, a ={ 3, 1, 0 }, b ={ -1, 2, 1 }, c ={ -1, 0, 2 }.

 

1.10. x ={ -1, 7, -4 }, a ={ -1, 2, 1 }, b ={ 2, 0, 3 }, c ={ 1, 1, -1 }.

1.11. x ={ 6, 5, -14 }, a ={ 1, 1, 4 }, b ={ 0, -3, 2 }, c ={ 2, 1, -1 }.

 

1.12. x ={ 6, -1, 7 }, a ={ 1, -2, 0 }, b ={ -1, 1, 3 }, c ={ 1, 0, 4 }.

 

1.13. x ={ 5, 15, 0 }, a ={ 1, 0, 5 }, b ={ -1, 3, 2 }, c ={ 0, -1, 1 }.

 

1.14. x ={ 2, -1, 11 }, a ={ 1, 1, 0 }, b ={ 0, 1, -2 }, c ={ 1, 0, 3 }.

 

1.15. x ={ 11, 5, -3 }, a ={ 1, 0, 2 }, b ={ -1, 0, 1 }, c ={ 2, 5, -3 }.

 

1.16. x ={ 8, 0, 5 }, a ={ 2, 0, 1 }, b ={ 1, 1, 0 }, c ={ 4, 1, 2 }.

 

1.17. x ={ 3, 1, 8 }, a ={ 0, 1, 3 }, b ={ 1, 2, -1 }, c ={ 2, 0, -1 }.

 

1.18. x ={ 8, 1, 12 }, a ={ 1, 2, -1 }, b ={ 3, 0, 2 }, c ={ -1, 1, 1 }.

 

1.19. x ={ -9, -8, -3 }, a ={ 1, 4, 1 }, b ={ -3, 2, 0 }, c ={ 1, -1, 2 }.

 

1.20. x ={ -5, 9, -13 }, a ={ 0, 1, -2 }, b ={ 3, -1, 1 }, c ={ 4, 1, 0 }.

 

1.21. x ={ 2, 7, 5 }, a ={ 1, 0, 1 }, b ={ 1, -2, 0 }, c ={ 0, 3, 1 }.

 

1.22. x ={ 15, -20, -1 }, a ={ 0, 2, 1 }, b ={ 0, 1, -1 }, c ={ 5, -3, 2 }.

 

1.23 х= { 10, 1, 11 }, a = { 3, 1, -1}, b ={ 1, -1, 4}, c= { 2, 1, 5}

 

1.24 x= { 0, 6, -1}, a ={ -1, 2, 1}, b ={ 2, 1, -1}, c= { 1, 2, 2}

 

2. Даны координаты вершин тетраэдра А₁ А₂ А₃ А₄. Найти:

1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄;

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;

5) объем тетраэдра;

6) уравнения прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

8) уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁ А₂ А₃;

9) расстояние вершины А₄ до грани А₁ А₂ А₃;

10) расстояние вершины А₄ до ребра А₁ А₂.

 

Указание: все результаты представить точно в виде радикалов, а затем привести их приближенные значения.

 

А ₁ А ₂ А ₃ А ₄

2.1. (1, 3, 6) (2, 2, 1) (-1, 0, 1) (-4, 6, -3)

2.2. (-4, 2, 6) (2, -3, 0) (-10, 5, 8) (-5, 2, -4)

2.3. (7, 2, 4) (7, -1, -2) (3, 3, 1) (-4, 2, 1)

2.4. (2, 1, 4) (-1, 5, -2) (-7, -3, 2) (-6, -3, 6)

2.5. (-1, -5, 2) (-6, 0, -3) (3, 6, -3) (-10, 6, 7)

2.6. (0, -1, -1) (-2, 3, 5) (1, -5, -9) (-1, -6, 3)

2.7. (5, 2, 0) (2, 5, 0) (1, 2, 4) (-1, 1, 1)

2.8. (2, -1, -2) (1, 2, 1) (5, 0, -6) (-10, 9, -7)

2.9. (-2, 0, -4) (-1, 7, 1) (4, -8, - 4) (1, - 4, 6)

2.10. (14, 4, 5) (-5, -3, 2) (-2, -6, -3) (-2, 2, -1)

2.11. (1, 2, 0) (3, 0, -3) (5, 2, 6) (8, 4, -9)

2.12. (2, -1, 2) (1, 2, -1) (3, 2, 1) (-4, 2, 5)

2.13. (1, 1, 2) (-1, 1, 3) (2, -2, 4) (-1, 0, -2)

2.14. (2, 3, 1) (4, 1, -2) (6, 3, 7) (7, 5, -3)

2.15. (1, 1, -1) (2, 3, 1) (3, 2, 1) (5, 9, -8)

2.16. (1, 5, -7) (-3, 6, 3) (-2, 7, 3) (-4, 8, -12)

2.17. (-3, 4, -7) (1, 5, -4) (-5, -2, 0) (2, 5, 4)

2.18. (-1, 2, -3) (4, -1, 0) (2, 1, -2) (3, 4, 5)

2.19. (4, -1, 3) (-2, 1, 0) (0, -5, 1) (3, 2, -6)

2.20. (1, -1, 1) (-2, 0, 3) (2, 1, -1) (2, -2, -4)

2.21. (2, -4, -3) (5, -6, 0) (-1, 3, -3) (-10, -8, 7)

2.22. (1, -1, 2) (2, 1, 2) (1, 1, 4) (6, -3, 8)

2.23. (-1, 2, 4) (-1, -2, -4) (3, 0, -1) (7, -3, 1)

2.24. (0, -3, 1) (-4, 1, 2) (2, -1, 5) (3, 1, -4)

3. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от =0 до =2 с шагом /8;

2) найти уравнение данной линии в декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

3) по уравнению в декартовых координатах определить, какая это линия.

 

3.1. r =2/(1+cos ). 3.2. r =4/(2-3cos ). 3.3. r =1/(2-2cos ).

3.4. r =10/(2+cos ). 3.5. r =1/(2+2cos ). 3.6. r =1/(2+3cos ).

3.7. r =5/(2-cos ). 3.8. r =8/(3-cos ). 3.9. r =2/(3-4cos ).

3.10. r =5/(1-2cos ). 3.11 r =4/(3+cos ). 3.12. r =6/4+3cos ).

3.13. r =2/(2+5cos ). 3.14. r =3/(3+4cos ). 3.15. r =2/(3-2cos ).

3.16. r =3/(5-2cos ). 3.17. r =3/(2+4cos ). 3.18. r =5/(2-3cos ).

3.19. r =1/(4-cos ) 3.20. r =1/(3+cos ). 3.21. r =4/(1-cos ).

3.22. r =2/(5-3cos ). 3.23. r =1/(2-3cos ). 3.24. r =6(1+cos ).

 

4. Решить систему уравнений:

1) методом Гаусса;

2) средствами матричного исчисления (x=A_{_}^-1 B);

Указание: вычисления проводить с обычными дробями, не используя десятичных приближений.

 

4.1.	х1 – х2 + 7х3 = 6 2х1 + 3х2 - 3х3 = 10 3х1 + 2х2 + 5х3 =17	4.2.	4х1 +9х2 + 2х3 = 1 7х1 + х2 - 4х3 = -13 8х1 + 3х2 - х3 = -13	4.3.	8х1 + 4х2 + 3х3 = 7 2х1 + 6х2 - 2х3 = 4 3х1 +10х2 + х3 = 11
4.4.	10х1 + х2 + 3х3 = 19 3х1 + 4х2 + 9х3 = 30 х1 + 2х2 + 2х3 = 7	4.5.	2х1 + х2 + 5х3 = 24 4х1 + 3х2 + 3х3 = 20 х1 + 6х2 + х3 = 6	4.6.	х1 + 3х2 + 4х3 = 7 7х1 + 4х2 + 8х3 = 32 3х1 + 2х2 + 5х3 = 14
4.7.	х1 + 4х2 + 6х3 = 14 -2х1 +7х2 + 4х3 = 18 3х1 + 2х2 + 2х3 = 6	4.8.	х1 + 6х2 + 3х3 = 21 4х1 + 8х2 + х3 = 18 3х1 + 5х2 + 4х3 = 33	4.9.	2х1 + 3х2 + 2х3 = 16 7х1 + х2 - 7х3 = 14 3х1 + 8х2 + 4х3 = 27
4.10.	7х1 + 4х2 + 3х3 = 2 2х1 + 3х2 + 4х3 = -5 х1 + 5х2 - 2х3 = -13	4.11.	3х1 + 2х2 + х3 = 5 2х1 + 3х2 + х3 = 1 2х1 + х2 + 3х3 = 11	4.12.	х1 - 2х2 + 3х3 = 6 2х1 + 3х2 - 4х3 = 20 3х1 - 2х2 - 5х3 = 6
4.13.	4х1 – 3х2 + 2х3 = 9 2х1 + 5х2 - 3х3 = 4 5х1 + 6х2 - 2х3 = 18	4.14.	х1 + х2 + 2х3 = -1 2х1 - х2 + 2х3 = - 4 4х1 + х2 + 4х3 = - 2	4.15.	2х1 - х2 - х3 = 4 3х1 + 4х2 - 2х3 = 11 3х1 - 2х2 + 4х3 = 11
4.16.	3х1 + 4х2 + 2х3 = 8 2х1 - х2 - 3х3 = - 4 х1 + 5х2 + х3 = 0	4.17.	х1 + х2 - х3 = 1 8х1 + 3х2 - 6х3 = 2 4х1 + х2 - 3х3 = 3	4.18.	х1 - 4х2 - 2х3 = - 3 3х1 + х2 + х3 = 5 3х1 - 5х2 - 6х3 = -9
4.19.	7х1 – 5х2 = 31 4х1 + 11х3 = - 43 2х1 3х2 + 4х3 = -20	4.20.	х1 + 2х2 + 4х3 = 31 5х1 + х2 + 2х3 = 20 3х1 - х2 + х3 = 9	4.21.	5х1 + 3х2 - х3 = 4 х1 + 5х2 + 5х3 = 12 3х1 + 4х2 - 2х3 = - 4
4.22.	3х1 + 4х3 = - 5 х1 + 2х2 = 3 х1 + х2 + х3 = 1	4.23.	2x1 + x2 - x3 = 5 x1 + 2x2 +x3 = 1 3x1 - x2 + x3 = 0	4.24.	x1 + 2x2 +2x2 = 9 2x1 - x2 +2x3 = 4 3x1 + x2 - x3 = 3

 

 

5. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы:

 

5.1. 3x₁ + x₂ - 8x₃ + 2x₄ + x₅ = 0 5.2. 7x₁ + 2x₂ - x₃ - 2x₄ + 2x₅ = 0

2x₁ - 2x₂ - 3x₃ - 7x₄ + 2x₅ = 0 x₁ - 3x₂ + x₃ - x₄ - x₅ = 0

x₁ + 11x₂ - 12x₃ + 34x₄ - 5x₅ = 0 2x₁ + 5x₂ + 2x₃ + x₄ + x₅ = 0

 

5.3. x₁ + x₂ + 10x₃ + x₄ - x₅ = 0 5.4. 6x₁ - 9x₂ + 21x₃ - 3x₄ - 12x₅ = 0

5x₁ - x₂ + 8x₃ - 2x₄ + 2x₅ = 0 -4x₁ + 6x₂ - 14x₃ + 2x₄ + 8x₅ = 0

3x₁ - 3x₂ - 12x₃ - 4x₄ + 4x₅ = 0 2x₁ - 3x₂ + 7x₃ - x₄ - 4x₅ = 0

 

5.5. 2x₁ - x₂ + 2x₃ - x₄ + x₅ = 0 5.6. 5x₁ - 2x₂ + 3x₃ - 4x₄ - x₅ = 0

x₁ + 10x₂ - 3x₃ - 2x₄ - x₅ = 0 x₁ + 4x₂ - 3x₃ + 2x₄ - 5x₅ = 0

4x₁ + 19x₂ - 4x₃ - 5x₄ - x₅ = 0 6x₁ + 2x₂ - 2x₄ - 6x₅ = 0

 

5.7. 12x₁ - x₂ + 7x₃ + 11x₄ - x₅ = 0 5.8. x₁ + 2x₂ + x₃ + 4x₄ + x₅ = 0

24x₁- 2 x₂ + 14x₃ + 22x₄ -2x₅ = 0 2x₁ - x₂ + 3x₃ + x₄ - 5x₅ = 0

x₁ + x₂ + x₃ - x₄ + x₅ = 0 x₁ + 3x₂ - x₃ - 6x₄ - x₅ = 0

 

5.9. 2x₁ - x₂ + 3x₃ - x₄ - x₅ = 0 5.10. x₁ + x₂ + x₃ + 2x₄ + x₅ = 0

x₁ + 5x₂ - x₃ + x₄ + 2x₅ = 0 x₁ - 2x₂ - 3x₃ + x₄ - x₅ = 0

x₁ + 16x₂ - 6x₃ + 4x₄ + 7x₅ = 0 2x₁ - x₂ - 2x₃ + 3x₄ = 0

 

5.11. 8x₁ + x₂ + x₃ - x₄ + 2x₅ = 0 5.12. x₁ + 3x₂ - x₃ + 12x₄ - x₅ = 0

3x₁ - 3x₂ - 2x₃ + x₄ - 3x₅ = 0 2x₁ - 2x₂ + x₃ - 10x₄ + x₅ = 0

5x₁ + 4x₂ + 3x₃ - 2x₄ + 5x₅ = 0 3x₁ + x₂ + 2x₄ = 0

 

5.13. 7x₁ - 14x₂ + 3x₃ - x₄ + x₅ = 0 5.14. x₁ + 2x₂ + 3x₃ + x₄ - x₅ = 0

x₁ - 2x₂ + x₃ - 3x₄ + 7x₅ = 0 2x₁ - 2x₂ - 5x₃ - 3x₄ + x₅ = 0

5x₁ - 10x₂ + x₃ + 5x₄ - 13x₅ = 0 3x₁ - 2x₂ + 3x₃ + 2x₄ - x₅ = 0

 

 

5.15. x₁ + x₂ + x₃ - x₄ - x₅ = 0 5.16. 2x₁ + x₂ - 3x₃ + x₄ - x₅ = 0

2x₁ + x₂ - 2x₃ - x₄ - 2x₅ = 0 3x₁ - x₂ + 2x₃ - x₄ + 2x₅ = 0

x₁ + 2x₂ + 5x₃ - 2x₄ - x₅ = 0 x₁ - 2x₂ + 5x₃ - 2x₄ + 3x₅ = 0

 

5.17. x₁ + 2x₂ - 3x₃ + 10x₄ -x₅ = 0 5.18. 2x₁ + x₂ - x₃ + 7x₄ + 5x₅ = 0

x₁ - 2x₂ + 3x₃ - 10x₄ + x₅ = 0 x₁ - 2x₂ + 3x₃ - 5x₄ - 7x₅ = 0

x₁ + 6x₂ - 9x₃ + 30x₄ - 3x₅ = 0 3x₁ - x₂ + 2x₃ + 2x₄ - 2x₅ = 0

 

5.19. 2x₁ - 2x₂ - 3x₃ - 7x₄ + 2x₅ = 0 5.20. 3x₁ + x₂ - 8x₃ + 2x₄ + x₅ = 0

x₁ + 11x₂ - 12x₃+ 34x₄ - 5x₅ = 0 x₁ + 11x₂ -12x₃ - 34x₄ - 5x₅ = 0

x₁ - 5x₂ + 2x₃ - 16x₄ + 3x₅ = 0 x₁ - 5x₂ + 2x₃ - 16x₄ + 3x₅ = 0

 

5.21. 3x₁ + 2x₂ - 2x₃ - x₄ + 4x₅ = 0 5.22 x₁ + x₂ +3x₃ - 2x₄ +3x₅ = 0

7x₁ + 5x₂ - 3x₃ - 2x₄ + x₅ = 0 2x₁ + 2x₂ + 4x₃ – x₄ +3x₅ = 0

x₁ + x₂ + x₃ - 7x₅ = 0 x₁ + x₂ + 5x₃ – 5x₄ + 6x₅ = 0

 

5.23 x₁ + 2x₂ + 3x₃ – 2x₄ +x₅ = 0 5.24 x₁ + x₂ + x₃ + 2x₄ +x₅ = 0

x₁ + 2x₂ + 7x₃ – 4x₄ +x₅ = 0 x₁ – 2x₂ – 3x₃ +x₄ – x₅ = 0

x₁ + 2x₂ + 11x₃ – 6x₄ + x₅ = 0 2x₁ – x₂ – 2x₃ + 3x₄ = 0

 

Пример решения: 5x₁ + 2x₂ - x₃ + 3x₄ + 4x₅ = 0

3x₁ + x₂ - 2x₃ + 3x₄ + 5x₅ = 0

6x₁ + 3x₂ - 2x₃ + 4x₄ + 7x₅ = 0

 

Выпишем матрицу системы, нумеруя столбцы (нумеровать строки необязательно):

 

5 2 -1 3 4

3 1 -2 3 5

6 3 -2 4 7

_{(1) (2) (3) (4) (5)}

 

и приведем ее к каноническому виду, применяя элементарные преобразования: умножение строки на число, перестановку строк, сложение строк, те же операции со столбцами. При этом следим за переставляемыми столбцами по их номерам.

 

1) Расположим в левом верхнем углу элемент, равный 1. (Если такого элемента в матрице нет, то следует поделить любой столбец на любой отличный от 0 его элемент). Для этого поменяем местами строки (1) и (2):

 

3 1 -2 3 5

5 2 -1 3 4

6 3 -2 4 7

_{(1) (2) (3) (4) (5)}

 

Теперь поменяем столбцы (1) и (2):

 

1 3 -2 3 5 [-2], [-3]

2 5 -1 3 4

3 6 -2 4 7

_{(2) (1) (3) (4) (5)}

 

В дальнейшем 1-я строка не подлежит изменению!

 

2) Сформируем нули во 2-й и 3-й строках первого столбца. Для этого умножим 1-ю строку на 1-й элемент 2-й строки и вычтем из 2-й строки. Так же поступим с 3-й строкой. (Множители указаны в [ ].)

 

1 3 -2 3 5

0 -1 3 -3 - 6 [ -1]

0 -3 4 -5 -8

_{(2) (1) (3) (4) (5)}

 

В дальнейшем 1-й столбец не подлежит изменению!

 

3) Превратим в «1» 2-й элемент на главной диагонали, то есть стоящий во 2-й строке и 2-ом столбце. В нашем примере достаточно умножить на (-1) вторую строку. (В общем случае следует поделить 2-ю строку на этот элемент. Если же он равен 0, то предварительно переставляют строки не трогая 1-й (!), или столбцы не трогая 1-й (!).)

 

1 3 -2 3 5

0 1 - 3 3 6 [ 3 ]

0 -3 4 -5 -8

_{(2) (1) (3) (4) (5)}

В дальнейшем 2-я строка не подлежит изменению!

 

4) Превратим в «0» 3-й элемент 2-го столбца. Для этого умножим 2-ю строку на (+3) и сложим с 3-ей.

[ 1 3 -2 ] 3 5

[ 0 1 - 3 ] 3 6

[ 0 0 - 5 ] 4 10

_{(2) (1) (3) (4) (5)}

 

Под главной диагональю стоят нули, а на самой главной диагонали их нет. Этот вид и является каноническим. (В других вариантах 3-я строка, или даже 2-я и 3-я вместе, могут состоять из одних нулей.) Минор, содержащий ненулевые элементы главной диагонали, является базисным, (здесь он указан скобками [ ]), а исходные номера входящих в него столбцов: _{(2) (1) (3)} -- определяют номера базисных неизвестных; остальные неизвестные – свободные, и члены уравнений, содержащие их, переносят в правую часть.

 

5) Полученный вид матрицы и деление неизвестных на базисные и свободные позволяют переписать систему так:

 

x₂ + 3x₁ -- 2x₃ = -- 3x₄ -- 5x₅

x₁ -- 3x₃ = -- 3x₄ -- 6x₅

-- 5x₃ = -- 4x₄ -- 10x₅

 

и выразить базисные неизвестные через свободные:

 

x₃ = (4/5) x₄ + 2x₅

x₁ = 3x₃ – 3x₄ – 6x₅ = (- 3/5) x₄

x₂ = -- 3x₁ + 2x₃ – 3x₄ – 5x₅ = (2/5) x₄ – x₅

 

6) Полученное решение представим в виде линейной комбинации столбцов фундаментальной системы решений, образующей базис в линейном пространстве решений. Таких столбцов столько, сколько свободных неизвестных (здесь = 2).Проще всего последовательно придать одной из свободных неизвестных произвольное ненулевое значение, а остальные свободные неизвестные принять нулями.

В нашем примере удобно взять

 

1. x₄ ⁽¹⁾ = 5, x₅ ⁽¹⁾ = 0. Тогда x₁ ⁽¹⁾ = - 3, x₂ ⁽¹⁾ = 2, x₃ ⁽¹⁾ = 4

2. x₄ ⁽²⁾ = 0, x₅ ⁽²⁾ = 1. Тогда x₁ ⁽²⁾ = 0, x₂ ⁽²⁾ = - 1, x₃ ⁽²⁾ = 2

 

Теперь общее решение можно записать так: x = C₁ x ⁽¹⁾ + C₂ x ⁽²⁾. (Здесь С₁, С₂ – произвольные постоянные), или развернуто:

 

[x₁] = [ - 3 ] [ 0 ]

[x₂] = [ 2 ] [ - 1 ]

[x₃] = C₁ [ 4 ] + C₂ [ 2 ]

[x₄] = [ 5 ] [ 0 ]

[x₅] = [ 0 ] [ 1 ]

 

Полезно проверить, что столбцы x ⁽¹⁾, x ⁽²⁾ являются частными решениями исходной системы, то есть сделать прямую подстановку.

 

Сформулируем ответ на вопрос задачи: размерность пространства решений равна числу свободных неизвестных, (т.е. 2), а базисом в этом пространстве могут служить два найденных частных решения: x ⁽¹⁾, x ⁽²⁾.

6. Дано уравнение кривой 2-го порядка. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы соответствующей квадратичной формы и использовать их для приведения уравнения кривой к каноническому виду. Указать тип кривой.

 

6.1. –x² – y² +4xy + 2x – 4y + 1 = 0 6.2. 2x² + 2y² -- 2xy -- 2x – 2y + 1 = 0

6.3. 2xy + 2x – 2y = 0 6.4. -- 2x² -- 2y² +2xy -- 6x + 6y + 3 = 0

6.5. – 3x² –3y²+4xy-- 6x+ 4y+2= 0 6.6. -- 2xy -- 2x – 2y + 1 = 0

6.7. –x² – y² -- 4xy -- 4x – 2y +2= 0 6.8. --4x² -- 4y² +2xy +10x--10y +1=0

6.9. 2xy + 2x – 2y -- 1 = 0 6.10. x² + y² + 2xy -- 8x – 8y + 1 = 0

6.11. x² + y² + 4xy -- 8x – 4y +1 = 0 6.12. x² + y² -- 2xy -- 2x + 2y -- 7 = 0

6.13. 2xy + 2x + 2y -- 3 = 0 6.14. 4x² + 4y² +2xy+12x + 12y +1 = 0

6.15. 3x²+3y²+4xy +8x +12y + 1 = 0 6.16. x² + y²-- 8xy -- 20x + 20y + 1 = 0

6.17. 3x²+3y²-- 2xy--6x + 2y + 1 = 0 6.18. 4xy + 4x + 4y + 1 = 0

6.19. 3x²+3y²--4xy + 6 –4y -- 7 = 0 6.20. -- 2xy -- 2x + 2y + 3 = 0

6.21. 2x² + 2y² +4xy +8x +8y +1 =0 6.22 x² + y² – 4xy +4x – 2y +1 = 0

6.23 3x² + 3y² – 4xy +4x +4y +1 = 0 6.24 -4xy + 8x +8y +1 = 0

 

Рассмотрим пример 5x² + 5y² -- 2xy + 10x – 2y + 1 = 0

1) Выпишем симметричную матрицу квадратичной формы

 

5x² + 5y² -- 2xy: A= [ 5 -1]

[-1 5 ]

 

2) Находим собственные значения:

Det (A – E) = = (5 – l)² – 1 = 0

Корни характеристического уравнения ² - 10 +24 = 0, очевидно, таковы: ₁ = 4,

₂ = 6.

 

3) Найдем собственные векторы матрицы А, рассматривая однородную систему:

(5 – )u₁ – u₂ = 0

– u₁ + (5 – )u₂ = 0

При ₁ = 4 имеем u₁ =u₂ и в качестве первого собственного вектора примем

u ⁽¹⁾ = (1; 1)^T.

(Знак ^(Т) означает транспонирование.) Нормируем его:

 

e ⁽¹⁾= u ⁽¹⁾ / =(1; 1)^T / .

(Напомним: если u = (u₁, u₂)^T, то | u | = .)

При ₂ = 6 имеем u₁ = -u₂. В качестве второго собственного вектора примем u ⁽²⁾ = (1; -1)^T и нормируем его:

e ⁽²⁾= u ⁽²⁾ / | u ⁽²⁾ |=(1; -1)^T / .

 

4) Сделаем замену координат , где матрица перехода S имеет столбцами нормированные собственные векторы e ⁽¹⁾, e ⁽²⁾ , то есть .

.

В новых координатах квадратичная форма примет вид

 

5x² + 5y² -- 2xy = l₁x₁² + l₂ y₁² = 4x₁² + 6y₁².

Это следует из общей теории, но полезно использовать равенство

(A x, x) = (AS x ₁, S x ₁) = (S ^TAS x ₁, x ₁) = ( A ₁ x ₁, x ₁), откуда

A₁ =S ^TAS = diag(l₁ , l₂) = ,

и проверить результат непосредственным матричным умножением.

В новых координатах уравнение кривой примет вид:

4x₁² + 6y₁² + 5 (x ₁+ y ₁) -- (x ₁ -- y ₁) +1 = 0.

 

7) Параллельным переносом осей координат устраним линейные члены. Соберем члены, содержащие x ₁ и выделим полный квадрат:
4x₁ ² + 4 x₁ = 4(x₁ + /2)² – 2.

Аналогично поcтупим с членами, содержащими y₁:
6 y₁ ² + 6 y₁ =6(y₁ + /2)² – 3.

Делаем замену переменных:

x₂ = x₁ + /2; y₂ = y₁ + /2,

в результате которой уравнение кривой принимает вид 4x₂ ² + 6y₂ ² – 4 = 0, и после деления на свободный член получаем

-- каноническое уравнение эллипса.