IV. Функции нескольких переменных

1. Что называют функцией двух переменных, ее областью определения? Дайте геометрическое толкование этих понятий.

2. Дайте определение функции 3-х переменных и ее области определения.

3. Что называют пределом функции двух переменных в точке? Дайте определение функции, непрерывной в точке и в области.

4. Как определяются частные производные? Сформулируйте правило нахождения частных производных. Каков геометрический смысл частных производных функции двух переменных?

5. Какая функция называется дифференцируемой в точке М_о(х_о, у_о)? Что называют полным дифференциалом функции в точке? В чем состоит правило применения полного дифференциала для вычисления приближенных значений функции?

6. Выведите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

7. Выведите формулы для нахождения и сложной функции , где .

8. Напишите формулу вычисления полной производной сложной функции , .

9. Выведите формулу дифференцирования неявной функции , заданной уравнением .

10. Дайте определение частных производных высших порядков. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных функции двух переменных.

11. Что называют производной функции в данной точке М₀ по направлению вектора? Выведите формулу ее вычисления.

12. Что называют градиентом скалярного поля в данной точке? Как выражается производная по направлению через градиент и единичный вектор?

13. Дайте определение локального максимума (минимума) функции двух переменных. Выведите необходимое условие и сформулируйте достаточное условие экстремума функции двух переменных.

14. Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.

15. Что называют условным экстремумом функции ? Как найти условный экстремум, если переменные связаны одним условием?

16. Напишите уравнение касательной и нормальной плоскости к кривой.

17. Как вычислить кривизну кривой в данной точке?