Решение задачи в MS Excel.Модели всех задач на оптимизацию состоят из следующих элементов: 1. Переменные - неизвестные величины, которые нужно найти при решении задачи. 2. Целевая функция - величина, которая зависит от переменных и является целью, ключевым показателем эффективности или оптимальности модели. 3. Ограничения - условия, которым должны удовлетворять переменные. В качестве переменных х1 и х2 будем использовать ячейки E2 и E3 соответственно. Для значения целевой функции будем использовать ячейку E9:
Далее выбираем пункт меню Данные/Поиск решения:
Перед нами открывается диалоговое окно Поиск решения. В нём указываем, что нам необходимо установить ячейку $E$9 максимальному значению, изменяя ячейки $E$2:$E$3. Далее нажимаем кнопку Добавить для добавления ограничений. И добавляем следующие ограничения:
ограничения по фонду рабочего времени
ограничения по минимальному плану производства
количество изделий должно быть целым числом
После ввода каждого ограничения нажимаем кнопку Добавить. После ввода последнего ограничения нажимаем кнопку OK. И диалоговое окно Поиск решения принимает следующий вид:
Нажимаем кнопку Выполнить. И перед нами открывается диалоговое окно Результаты поиска решения:
Выбираем создание отчёта по результатам. Отчеты по устойчивости и пределам не создаются при использовании целочисленных ограничений на переменные. После нажатия кнопки OK в рабочей книге появляется новый лист с названием Отчет по результатам 1 содержащий отчёт по результатам, и получаем следующие результаты:
1.1.3 Отчёт по результатам.
1.1.4 Анализ отчета показывает, что фонд рабочего времени задействован на 100%. Электронная таблица в режиме формул.
Электронная таблица в режиме значений.
Пример 2. Компания «Атлант» хранит свою продукцию на трех складах (первом, втором и третьем), расположенных в разных частях города. На этих складах хранится продукция в количествах 1000, 3000 и 2500 штук соответственно. Продукцию необходимо доставить четырем оптовым покупателям «Урал», «Купец», «Гелиос» и «Меркурий» с минимальными затратами, заявки которых составляют 1300, 800, 2700 и 1700 штук соответственно. Склады оптовых покупателей также расположены в разных частях города. Стоимости (в рублях) доставки одной штуки продукции со складов компании на склады покупателей показаны в следующей таблице7. Таблица 7 Стоимость доставки продукции
1. Построим математическую модель задачи: определим переменные, целевую функцию и ограничения. Пусть: − x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31, x32, x33, x34 – количество продукции, перевозимой со складов компании на соответствующие склады покупателей; − z=50 x11 + 150 x12 + 60 x13 + 75 x14 + 100 x21 + 30 x22 +100 x23 +40 x24+ +70x31+180 x32 + 210 x33 + 120 x34 – целевая функция, общая стоимость доставки грузов покупателям; − x11 + x12 + x13 + x14=1000, − x11+ x21 + x31=1300, 2. Имеем сбалансированную транспортную задачу, так как спрос покупателей (1300+800+2700+1700=6500) равен предложению производителей (1000+3000+2500=6500). 3. Запустите табличный процессор MS Excel. Переименуйте Лист 1 в Сбалансированная модель. 4. Составьте табличную модель Excel (рис. 65).
Рис. 65. Сбалансированная модель 5. Последняя таблица не обязательна. Целевую функцию можно было вычислить по формуле: =СУММПРОИЗВ(В4:Е6;В13:Е15). 6. Выделите целевую ячейку и запустите надстройку Поиск решения (Данные 4 Анализ 4 Поиск решения). 7. В появившемся диалоговом окне Поиск решения укажите адреса целевой ячейки, диапазон изменяемых ячеек и ограничения (рис. 66). Целевую ячейку установите равной минимальному значению. Рис. 66. Диалоговое окно «Поиск решения» 8. В диалоговом окне параметры Поиска решения установите флажки Линейная модель, Неотрицательные значения и Автоматическое масштабирование. 9. В диалоговом окне Поиск решения нажмите кнопку Выполнить. 10. Получаем оптимальное решение задачи (рис. 67).
Рис. 67. Оптимальное решение задачи 11. Скопируйте полученную табличную модель на Лист 2 рабочей книги и переименуйте его в Несбалансированная задача. 12. Решим эту же задачу, немного изменив условие. 13. Пусть на складе №1 хранится не 1000 штук продукции, а 500. В таком случае на трех складах компании хранится 6000 штук продукции, покупатели по-прежнему заказывают 6500 штук. Перед нами транспортная задача с дефицитом. 14. Несбалансированная задача решается аналогично сбалансированной. Изменения коснуться только ограничений. Причем в ограничениях для складов покупателей знак «=» заменяется знаком «≤». 15. После выполнения надстройки Поиск решения (рис. 68) получаем, что покупатель «Гелиос» недополучит 500 ед. продукции, а минимальные транспортные расходы составят 479 000 (рис. 69).
Рис. 68. Поиск решения
Рис. 69. Оптимальное решение задачи 16. Покажите работу преподавателю.
Частным случаем транспортной задачи является задача о назначениях. В общем виде она формулируется следующим образом: имеется n различных работ и n рабочих. Известны стоимости выполнения каждого вида работ каждым работником. Необходимо так составить штатное расписание, чтобы все работы были выполнены, на выполнение каждой работы назначался только один работник, а затраты на заработную плату были минимальными. В данном случае задача является сбалансированной, так как количество работников равно количеству работ. Ограничения записываются в виде следующих равенств. x11 + x12 + …+ x1n=1, x21 + x22 +… +x2n=1, … xn1+xn2 + … + xnn=1 – ограничения для работников (каждый работник может выполнять только один вид работ). x11 + x21 + …+ xn1=1, x12 + x22 +… +xn2=1, … x1n+x2n + … + xnn=1 – ограничения для работ (каждый вид работ может быть выполнен только одним работником). xij – это двоичные переменные, которые могут принимать только два значения: 1, если работник i назначается на выполнение работы j и 0, если не назначается. Решение задачи о назначениях рассмотрим на примере. Пример 3. В лингвистическом центре работают 4 преподавателя по следующим направлениям: «Английский для начинающих», «Деловой английский», «Подготовка к ЕГЭ» и «Английский для путешествий». Стоимость академического часа работы каждого преподавателя по каждому курсу представлена в таблице 8. Составьте оптимальное распределение нагрузки среди сотрудников таким образом, чтобы все курсы были проведены, каждый преподаватель был занят только на одном виде работ, а затраты на заработную плату были минимальными. Таблица 8 Стоимость обучения
1. Построим математическую модель задачи: определим переменные, целевую функцию и ограничения. Пусть: x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31, x32, x33, x34 – двоичные переменные, которые могут принимать два значения: 1, если преподаватель i назначается на чтение курса j и 0, если не назначается. z=100 x11 + 300 x12 + 110 x13 + 250 x14 + 120 x21 + 180 x22 +100 x23 +150 x24+ +200 x31+200 x32 + 80 x33 + 170 x34 +300 x41+250 x42 + 150 x43 + 230 x44 – целевая функция (общая стоимость работ). x11 + x12 + x13 + х14=1, x14 + x24 +x34+ х44=1 – ограничения (каждый преподаватель может быть задействован на чтении только одного курса и каждый курс должен быть проведен). 2. На основе математической модели на рабочем листе Excel создадим табличную модель (рис. 70).
Рис. 70. Задача о назначениях 3. Целевая функция в данном случае вычисляется по формуле =СУММПРОИЗВ(C6:F9;C15:F18). 4. Выделите целевую ячейку и запустите надстройку Поиск решения (Данные 4 Анализ 4 Поиск решения). 5. В появившемся диалоговом окне Поиск решения укажите адреса целевой ячейки, диапазон изменяемых ячеек и ограничения (рис. 71). Целевую ячейку установите равной минимальному значению. В диалоговом окне Параметры поиска решения установите флажки Линейная модель и Автоматическое масштабирование. 6. В диалоговом окне Поиск решения (рис. 71) нажмите кнопку Выполнить.
Рис. 71. Поиск решения 7. Получаем оптимальное решение задачи (рис. 72).
Рис. 72. Оптимальное решение задачи
|
