Аналіз одномірного руху частинки в потенціальному полі сил

Дата добавления: 2014-10-29; просмотров: 1289

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. – М.: Наука, 1989. – С. 84–116, 135–145.

2. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высш. шк., 2001. – С. 36–44.

Позиция 211

в плане издания

учебной литературы

МГУ на 2008 г.

Учебное издание

Сима Борисовна Лебединская,

Юрий Дмитриевич Воробьев

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Учебное пособие

Редактор О. А. Зубкова

Компьютерная верстка авторов

5,2 уч.-изд. л. Формат 60 ‰ 84 1/16

Тираж 100 экз. Заказ № 241

Отпечатано в типографии ИПК МГУ им. адм. Г. И. Невельского

690059, Владивосток, ул. Верхнепортовая, 50а

Глава 7 Застосування законів збереження

Аналіз одномірного руху частинки в потенціальному полі сил

Одномірним називається рух частинки з одним ступенем вільності. Нехай частинка масою рухається в полі сил, яке описується потенціальною енергією . Оскільки відмінною від нуля є лише одна компонента зовнішньої сили , то внаслідок закону збереження імпульсу, компоненти імпульсу частинки і будуть залишатись сталими. В цьому випадку рівняння руху матиме вигляд

Але розв’язок такого рівняння безпосереднім інтегруванням є досить складною математичною задачею. Проте застосування законів збереження дає можливість провести якісне дослідження руху. Покажемо, що за допомогою закону збереження енергії можна якісно проаналізувати характер одномірного руху в довільному полі не розв’язуючи диференціальне рівняння .

Закон збереження енергії для випадку одномірного руху має вигляд

.

1)Оскільки кінетична енергія невід’ємна, то з випливає нерівність

,

яка накладає обмеження на можливі значення повної енергії та координат частинки . Дійсно, для існування розв’язку нерівності відносно необхідно, щоб величини були більші за найменше можливе значення потенціальної енергії , тобто

.

Області зміни значень , при яких задовольняється нерівність називаються класично доступними.

Точки , у яких потенціальна енергія дорівнює повній енергії

,

називаються точками зупинки. З випливає, що швидкість частинки має задовольняти рівняння

.

Згідно з при , . Оскільки умова визначає границі класично доступних і класично недоступних областей, то в точках швидкість частинки змінює знак.

Якщо рух обмежений двома точками, то рух називається фінітним, якщо область руху необмежена чи обмежена одною точкою (тобто уявляє собою нескінчений інтервал), то рух частинки в такій області називають інфінітним. Проілюструємо сказане на прикладі потенціалу, зображеного на рис.50.

При маємо дві класично доступні області і . В області частинка здійснюватиме фінітний рух, а в області – інфінітний.

При частинка буде утворювати тільки інфінітний рух в області .

2)Користуючись законом збереження енергії у формі можна знайти залежність швидкості частинки від координати , якщо відома функція . Цю ж залежність можна використати для визначення залежності координати частинки від часу. Для цього в проведемо відокремлення змінних

.

Звідси

.

Розв’язуючи рівняння відносно , дістанемо шукану залежність . Сталі і визначають за початковими значеннями координати і швидкості частинки.

3)Одномірний фінітний рух частинки є періодичним – частинка періодично рухається між точками і . Час руху від до дорівнює часу руху в зворотньому напрямку

;

.

Тут і є розв’язками рівняння . Видно, що . Період коливань визначається як час, протягом якого частинка здійснює перехід між точками повороту і і назад

.

Отже, доведена періодичність фінітного руху.

4)Розглянемо малі коливання частинки поблизу мінімуму потенціальної енергії.

Розкладемо потенціальну енергію поблизу мінімуму у ряд Маклорена

Приймемо , і позначимо . Одержуємо

.

Позначимо , тоді , . Графіки цих функцій показані на рис. 51.

Для нової змінної положення рівноваги частинки визначається її значенням . Точки повороту визначаються умовою , тобто , звідки знаходимо

.

Знайдемо період коливань

Згадуючи табличний інтеграл , маємо

.