Головна сторінка Випадкова сторінка КАТЕГОРІЇ: АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія |
Вимушені коливанняДата добавления: 2014-10-29; просмотров: 797
У випадку дії на систему сили, яка змінюється по гармонічному закону, коливання описується диференціальним рівнянням (дивись ) . Тут , – амплітуда сили, – частота сили. Відмітимо, що в попередньому параграфі -ою позначалася зовсім інша величина, яку тут позначимо . Рівняння є неоднорідним. Згідно загальний розв’язок неоднорідного рівняння складається із суми загального розв’язку однорідного рівняння і окремого розв’язку неоднорідного рівняння. Загальний розв’язок однорідного рівняння ми знайшли , де . В пошуках окремого розв’язку неоднорідного рівняння представимо праву частину рівняння комплексним числом . Приходимо до рівняння . Окремий розв’язок будемо шукати у вигляді де – деяке комплексне число. Диференціюючи по часу , і підставляючи ці вирази в , отримаємо алгебраїчне рівняння . Звідси . Запишемо комплексне число, що стоїть в знаменнику, в показниковій формі де , . Підстановкою в одержуємо амплітуду , а підставляючи в одержуємо окремий розв’язок рівняння . Дійсна частина цього комплексного числа визначає окремий розв’язок рівняння . Тут і визначаються рівняннями . В загальному розв’язку неоднорідного рівняння , який є сумою рівнянь і , суттєвим є лише рівняння – окремий розв’язок неоднорідного рівняння. Внаслідок експоненціального затухання по закону вклад доданка в загальний розв’язок з часом зменшується до нуля. Таким чином, рівняння описує стабільні в часі вимушені коливання. Характерною властивістю вимушених коливань є залежність амплітуди коливань від частоти , з якою сила діє на систему, причому ця залежність має максимум. Явище збільшення амплітуди коливань при певній частоті дії сили називається резонансом. Для знаходження резонансної частоти дослідимо на екстремум амплітуду, а точніше функцію , що стоїть в знаменнику амплітуди . Від функції беремо похідну і прирівнюємо її нулю . Це рівняння має три розв’язки: і . Розв’язок рівний нулю відповідає мінімуму амплітуди. Із двох інших розв’язків фізичний зміст має розв’язок із знаком „ ”. Отже, . Підставляючи в рівняння , отримаємо резонансну амплітуду . Залежності амплітуди вимушених коливань від частоти дії сили для різних значень коефіцієнта затухання показані на рис.96. У відповідності з і чим менше , тим вище і більше зсунутими вправо розташовані на графіках максимуми амплітуди. Із збільшенням частоти амплітуда монотонно зменшується. При зменшенні до нуля всі резонансні криві прямують до одного і того ж значення амплітуди , тобто . Це значення дорівнює зміщенню із положення рівноваги, яке отримує система під дією сталої сили величиною .
|