Головна сторінка Випадкова сторінка КАТЕГОРІЇ: АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія |
Рух частинки в полі . Задача КеплераДата добавления: 2014-10-29; просмотров: 1127
Раніше, розглядаючи рух частинки в центральному полі шляхом розв’язування задачі в полярній системі координат із застосуванням тільки законів збереження енергії і моменту імпульсу, ми прийшли до виразу, яким визначалася б траєкторія руху частинки . Щоб знайти явну залежність , треба виконати інтегрування в рівнянні Тут , де потенціальна енергія взаємодії має вигляд . Від’ємна величина відповідає притягуванню, а додатна – відштовхуванню. Інтегруємо рівняння Позначивши , дістаємо або . . Тут знак перед одиницею „ ” відповідає притягуванню , „ ” відповідає відштовхуванню . Позначивши , , одержимо рівняння траєкторії частинки . Проведемо спочатку якісний аналіз руху частинки. 1. Відштовхування , . Оскільки в даному випадку додатна, то як видно із рис.78 маємо тільки інфінітний рух 2. Притягування , . Як видно із рис.79 можливі такі рухи: 1) при – фінітний рух, еліпс. Із дослідження кривої на екстремум одержимо ; 2) при – інфінітний рух, парабола; 3) при маємо інфінітний рух, гіпербола.
Тепер докладніше розглянемо випадок притягування частинки центром . Траєкторія частинки визначається рівнянням конічного перерізу з фокусом в початку координат. . Тут , . – параметр; – ексцентриситет, – велика піввісь еліпса, – відстань від фокуса до середини відстані між фокусами.
Таким чином, розрахунки підтверджують якісні міркування, приведені вгорі (дивись рис.79). Побудуємо (рис.80) функцію . При буде – перигелій орбіти, найближча точка орбіти до фокуса, центра силового поля. При , – перетин траєкторією осі . При траєкторією буде еліпс, а оскільки , то це буде при . Ексцентриситет характеризує витягнутість орбіти. Чим більший , чим ближчий до одиниці, тим орбіта більш витягнута вздовж . При , при всіх кутах , тобто маємо коло, а це відповідає мінімуму ефективної потенціальної енергії . З аналітичної геометрії відомо, що велика піввісь . Це співвідношення легко довести: , . . Мала піввісь . Підставимо в і вирази і . Отримаємо ; . Як бачимо, велика піввісь залежить тільки від енергії , мала піввісь залежить крім енергії ще і від моменту імпульсу . Величини відмінні від нуля, коли . при , тобто траєкторія вироджується у фінітний рух по прямій, що проходить через силовий центр. Видно, що момент імпульсу визначає опуклість еліпса. Визначимо тепер період обертання планети по орбіті. Відомо . Врахуємо, що . Тоді . Інтегруючи цей вираз знайдемо площу за період обертання, тобто площу еліпса, яка, як відомо, дорівнює . . Підставляючи вирази і і в вираз для періоду, будемо відразу знаходити . Підставляючи , одержуємо . Тобто видно, що . Тут – стала Кеплера. Це і є третій закон Кеплера. Отже, закони Кеплера є наслідками законів динаміки та закону всесвітнього тяжіння. Побудуємо гіперболу для притягуючого центра , а значить . , тут . В даному випадку півосі визначаються так ; . Ексцентриситет (дивись на рис.81). Розглянемо відштовхування . При цьому можливий тільки випадок , а значить . Рівняння руху . При , . Підставимо . (рис.82). Тут враховано, що . Вигляд траєкторій супутників Землі такий самий як для планет, що рухаються біля Сонця (рис.83). Космічні швидкості: 1) , , 2) повинен бути рух по параболі, тобто . . Тут нема , тому що швидкість не радіальна, а повна . .
|