Рух частинки в полі . Задача Кеплера
Дата добавления: 2014-10-29; просмотров: 1154
Раніше, розглядаючи рух частинки в центральному полі шляхом розв’язування задачі в полярній системі координат із застосуванням тільки законів збереження енергії і моменту імпульсу, ми прийшли до виразу, яким визначалася б траєкторія руху частинки . Щоб знайти явну залежність , треба виконати інтегрування в рівнянні

Тут , де потенціальна енергія взаємодії має вигляд . Від’ємна величина відповідає притягуванню, а додатна – відштовхуванню.
Інтегруємо рівняння

Позначивши , дістаємо або
.
.
Тут знак перед одиницею „ ” відповідає притягуванню , „ ” відповідає відштовхуванню . Позначивши
, ,
одержимо рівняння траєкторії частинки
.
Проведемо спочатку якісний аналіз руху частинки.
1. Відштовхування 
, .
Оскільки в даному випадку додатна, то як видно із рис.78 маємо тільки інфінітний рух
2. Притягування 
, .
Як видно із рис.79 можливі такі рухи:
1) при – фінітний рух, еліпс. Із дослідження кривої на екстремум одержимо ;
2) при – інфінітний рух, парабола;
3) при маємо інфінітний рух, гіпербола.
Тепер докладніше розглянемо випадок притягування частинки центром . Траєкторія частинки визначається рівнянням конічного перерізу з фокусом в початку координат.
. Тут , .
– параметр; – ексцентриситет, – велика піввісь еліпса, – відстань від фокуса до середини відстані між фокусами.
З аналітичної геометрії відомо, що коли
| Оскільки і всі величини під радикалом крім додатні, то маємо
| , то траєкторія гіпербола
| при
| , то траєкторія парабола
| при
| , то траєкторія еліпс
| при
| , то траєкторія коло
| при
|
Таким чином, розрахунки підтверджують якісні міркування, приведені вгорі (дивись рис.79).
Побудуємо (рис.80) функцію .
При буде – перигелій орбіти, найближча точка орбіти до фокуса, центра силового поля.
При , – перетин траєкторією осі .
При траєкторією буде еліпс, а оскільки , то це буде при .
Ексцентриситет характеризує витягнутість орбіти. Чим більший , чим ближчий до одиниці, тим орбіта більш витягнута вздовж .
При , при всіх кутах , тобто маємо коло, а це відповідає мінімуму ефективної потенціальної енергії
.
З аналітичної геометрії відомо, що велика піввісь . Це співвідношення легко довести: , . . Мала піввісь .
Підставимо в і вирази і . Отримаємо
;
.
Як бачимо, велика піввісь залежить тільки від енергії , мала піввісь залежить крім енергії ще і від моменту імпульсу . Величини відмінні від нуля, коли . при , тобто траєкторія вироджується у фінітний рух по прямій, що проходить через силовий центр.
Видно, що момент імпульсу визначає опуклість еліпса.
Визначимо тепер період обертання планети по орбіті. Відомо . Врахуємо, що . Тоді . Інтегруючи цей вираз знайдемо площу за період обертання, тобто площу еліпса, яка, як відомо, дорівнює .

.
Підставляючи вирази і і в вираз для періоду, будемо відразу знаходити 
.
Підставляючи , одержуємо
.
Тобто видно, що . Тут – стала Кеплера. Це і є третій закон Кеплера. Отже, закони Кеплера є наслідками законів динаміки та закону всесвітнього тяжіння.
Побудуємо гіперболу для притягуючого центра 
, а значить .

, тут .
В даному випадку півосі визначаються так
; 
.
Ексцентриситет (дивись на рис.81).
Розглянемо відштовхування . При цьому можливий тільки випадок , а значить . Рівняння руху
.
При , . Підставимо . (рис.82). Тут враховано, що .

Вигляд траєкторій супутників Землі такий самий як для планет, що рухаються біля Сонця (рис.83).

Космічні швидкості:
1) , , 
2) повинен бути рух по параболі, тобто . . Тут нема , тому що швидкість не радіальна, а повна . . 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | <== 14 ==> | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | |