Окружности

Уравнение = определяет окружность радиуса R с центром в точке С (a, b).

Например, уравнение определяет окружность радиуса R=3 c центром в точке С (2; -3).

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение принимает вид

Задача 1. Составить уравнение окружности, для которой точки А(5; 2) и В(-3; 4) являются концами одного диаметра.

Решение.

Чтобы записать уравнение окружности, надо найти ее центр и радиус. Поскольку точки А и В являются концами одного диаметра, то центром окружности будет середина отрезка АВ, поэтому

Радиус окружности равен длине вектора :

. Уравнение окружности:

Задача 2. Найти центр и радиус окружности:

Решение.

Заданное уравнение надо привести к виду .

Для этого группируем члены, содержащие x и y и выделяем полные квадраты:

, а центр – С (-3; 4).

ллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a:

, где - фокусы эллипса.

			x

 

 

 

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

, где , - большая полуось, - малая полуось.

- большая ось (), - малая ось ()

- межфокусное расстояние ()

Величина - эксцентриситет эллипса; E< 1.

Задача. Составить уравнение эллипса по следующим данным:

1) большая ось равна 10, межфокусное расстояние =8;

2) межфокусное расстояние = 6, а ;

3) большая полуось = 4, а точка М(2; -2) лежит на эллипсе.

Решение.

Чтобы записать уравнение эллипса, надо найти его полуоси a и b.

1) ; по формуле находим: . Уравнение эллипса имеет вид:

2) , а поскольку , то имеем

= = . Уравнение эллипса имеет вид

3) , а поскольку точка М(2; -2) лежит на эллипсе, ее координаты удовлетворяют уравнению . Имеем . Уравнение эллипса

y

Гипербола.

M

		x

 

 

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная: , где и - фокусы гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

, где ; - действительная полуось, - мнимая полуось.

- действительная ось (),

- мнимая ось (),

- межфокусное расстояние ()

Эксцентриситет гиперболы > 1.

Две прямые (диагонали прямоугольника со сторонами и ) являются асимптотами гиперболы.

Задача. Составить уравнение гиперболы по следующим данным:

1) действительная полуось ; ;

2) , а прямые являются асимптотами;

3) - асимптоты, а точка М(12; 3 ) лежит на гиперболе.

Решение.

1) ; . Поскольку , имеем ; по формуле находим:

- уравнение гиперболы.

2) ; уравнение асимптот: , поэтому имеем . по формуле получаем:

 

- уравнение гиперболы.

4) точка М(12; 3 ) лежит на гиперболе, значит ее координаты удовлетворяют уравнению , т.е. , - асимптоты, а значит . Подставляя в первое уравнение, получаем:

y

- уравнение гиперболы.

N

Парабола.

		M

x

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и от заданной прямой, называемой директрисой:

MF=MN, где фокус F , x = - директриса.

Каноническое уравнение параболы имеет вид: - параметр параболы.

Задача 1. Найти точки с абсциссой на параболе, фокус которой находится в точке F , а вершина – в начале координат.

Решение.

Фокус параболы находится в точке F . Следовательно, в данной задаче и уравнение параболы имеет вид: . Точки с абсциссой , лежащие на параболе, найдем, подставив в уравнение параболы: . Получим две точки: и .

Задача 2. Через фокус параболы проведена хорда, перпендикулярная к ее оси. Определите длину этой хорды.

Решение.

y

Парабола расположена в системе координат каноническим способом.

 

x

			F

 

 

, следовательно, в данной задаче , а значит фокус имеет координаты F . Найдем ординаты точек и :

, следовательно, , . Длина хорды =8.