Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом или и определяемый условиями:

 

1) 1) вектор перпендикулярен своим перемножаемым векторам: и , следовательно перпендикулярен к плоскости этих векторов

2) Тройка векторов и - правая, т.е. если смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от вектора к вектору осуществляется против часовой стрелки;

3) .

Геометрический смысл векторного произведения: = S параллелограмма, т.е. модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и :

Иначе, площадь параллелограмма, построенного на векторах и , численно равна модулю векторного произведения векторов и :

Свойства векторного произведения:

1)

2)

3)

4) , если ненулевые векторы коллинеарны.

Если векторы и заданы координатами:

, то векторное произведение x вычисляется по формуле:

Например, если , то

Задача 1. Заданы координаты вершин треугольника АВС: А(1; -1; 0), В(3; 1; 1), С(-1; 0; 2). Найти его площадь.

С

А

Решение.

Задача 2.Найти длину опущенной на вектор высоты параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение.

 

, с другой стороны

. Подставляя в формулу, получаем

Задачи для самостоятельного решения:

1) Найти

2) Векторы и являются сторонами параллелограмма. Найти площадь параллелограмма, построенного на его диагоналях.

3) Найти длину опущенной на сторону АС высоты треугольника АВС, если А(2; -1; -1), В(1; 1; 2), С(-1; -1; 3).