Линейные операции над матрицами

К линейным операциям относятся операция сложения матриц и умножение матрицы на число.

Матрицы одинакового размера можно сложить, при этом получается матрица того же размера:

Пусть A = размера m x n и B = размера m x n, а C = A+B, тогда = a ij + b ij, i = 1, 2 m; j = 1, 2, n.

Например: A = ; B = , а C = A+B. Тогда C = =

Любую матрицу можно умножить на любое число, при этом на это число умножается каждый элемент матрицы, т.е. если A = mn, а В = k A, то bij = () mn.

Например: A = , а B = 3A, тогда

B =

Пример. Дано: A = , а B = . Найти C = 2A – 3B.

Решение.

С = 2 - 3 = + = .

2.3. Умножение матриц.

Перемножение матриц возможно лишь в том случае, когда число столбцов первого множителя равно числу сток второго множителя. В противном случае умножение невозможно.

Пусть даны матрицы:

A = и B =

При умножении матрицы A размера m x n на матрицу B размера n x p получается матрица C размера m x p. Элемент Cij этой матрицы равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы B, т.е.

= + + …+ =

Пример 1. Дано: A = ; B = . Найти C = A B

Решение.

2Х3

2Х2

C = A B = =

= =

Пример 2. Найти f (A), если A = ; f (x) =

Решение. f (A)= .

Задачи для самостоятельного решения.

Вычислить:

1) ; 2) ; 3)

4)A = ; f (x) = Найти f (A).

5)A = ; f (x) = . Найти f (A).

4. Обратная матрица.

. Пусть дан определитель . Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент. Алгебраическое дополнение любого элемента определяется равно его минору, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное и с обратным знаком, если это число нечетное. Например, алгебраическое дополнение элемента равно:

. Для элемента = - , = - и т.д.

Пусть задана квадратная матрица A. Матрицей, обратной к матрице А, называется такая квадратная матрица , что A = . Матрица A имеет обратную только в том случае, если ее детерминант отличен от нуля: .

Пусть задана квадратная матрица третьего порядка:

A= или иначе A=

Обратная матрица определяется формулой:

= или .

Чтобы найти нужно выполнить действия:

1) Вычислить , если , то обратная матрица существует;

2) Вычислить алгебраические дополнения элементов матрицы А;

3) Составить матрицу С, заменив все элементы матрицы А их алгебраическими дополнениями, транспонировав полученную матрицу;

4) Найти обратную матрицу:

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы

A =

Решение.

1)

2)

= - 7;

3) C =

4)

Проверка:

A .